Determine o valor principal da potência complexa dada.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de potências complexas! Aqui, a gente precisa encontrar o valor principal de
. Para isso, vamos usar conhecimentos de números complexos, exponenciais e logaritmos. Vamos precisar converter o número complexo para a forma polar e aplicar a fórmula de potência com expoentes complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o número complexo
na forma polar. A forma polar de um número complexo é
, onde
é o módulo e
é o argumento.
Passo 3
Calculando o módulo
:
Passo 4
Calculando o argumento
:
Passo 5
Agora, podemos escrever
na forma polar:
Passo 6
Vamos elevar esse número à potência
usando a fórmula
:
Passo 7
Calculando o logaritmo de
:
Passo 8
Multiplicando por
:
Passo 9
Agora, substituindo de volta na expressão exponencial:
Passo 10
Calculando
usando a fórmula de Euler:
Passo 11
Multiplicando pela parte real
:
Resposta
O valor principal de
é:
Exercícios relacionados
Determine a imagem do dado conjunto sob a transformação
.
(a) Circunferência .
(a) Circunferência
Dados
e a correspondência entre
e
dada por
e
, faça um diagrama e diga se
é uma função de
em
.
Expresse o valor das seguintes funções trigonométricas e hiperbólicas na forma
.
©
©
(b) Usando a identidade da alternativa anterior, mostre que, se
, então pelo menos um dos dois números
e
é um múltiplo inteiro de
.