Determine o valor principal da potência complexa dada.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de potências complexas! Aqui, a gente precisa encontrar o valor principal de . Para isso, vamos usar conhecimentos de números complexos, exponenciais e logaritmos. Vamos precisar converter o número complexo para a forma polar e aplicar a fórmula de potência com expoentes complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o número complexo na forma polar. A forma polar de um número complexo é , onde é o módulo e é o argumento.

Passo 3

Calculando o módulo :

Passo 4

Calculando o argumento :

Passo 5

Agora, podemos escrever na forma polar:

Passo 6

Vamos elevar esse número à potência usando a fórmula :

Passo 7

Calculando o logaritmo de :

Passo 8

Multiplicando por :

Passo 9

Agora, substituindo de volta na expressão exponencial:

Passo 10

Calculando usando a fórmula de Euler:

Passo 11

Multiplicando pela parte real :

Resposta

O valor principal de é:

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©
(b) Usando a identidade da alternativa anterior, mostre que, se , então pelo menos um dos dois números e é um múltiplo inteiro de .