Dê um exemplo de uma sequência , não constante, para ilustrar cada situação abaixo:
(a) limitada e crescente;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para darmos um exemplo de uma sequência que não seja constante, mas que seja limitada e crescente. Aqui, vamos trabalhar com conceitos de sequências numéricas, limitação e monotonicidade crescente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser limitada e crescente:
  • Sequência Crescente: Uma sequência é dita crescente se, para todo , o próximo termo é maior ou igual ao termo anterior. Ou seja, para todo .
  • Sequência Limitada: Uma sequência é limitada se existe um número real que “limita” seus termos, ou seja, todos os termos da sequência são menores ou iguais a um certo número (limite superior) e maiores ou iguais a outro número (limite inferior).

Passo 3

Agora, para encontrar uma sequência que seja não constante, crescente e limitada, podemos pensar em uma que se aproxime de um certo valor sem nunca ultrapassá-lo. Um bom exemplo disso é a sequência .
Vamos verificar se ela atende aos requisitos:
  1. Não Constante: A sequência varia com , já que conforme aumenta, diminui, fazendo aumentar.
  2. Crescente: Calculando e , percebemos que , então . Logo, a sequência é crescente.
  3. Limitada: Vamos ver os limites inferior e superior:
    • Limite Inferior: Para todo , .
    • Limite Superior: Conforme tende ao infinito, tende a 0, então tende a 1. Assim, para todo .
Portanto, a sequência está limitada entre 0 e 1.

Resposta

Um exemplo de sequência não constante, limitada e crescente é .

Exercícios relacionados

calcule:
d)
(b) Usando a identidade da alternativa anterior, mostre que, se , então pelo menos um dos dois números e é um múltiplo inteiro de .
Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
(e)
Expresse pelo seu termo geral , cada uma das seguintes sequências.
(g)