Dê um exemplo de uma sequência
, não constante, para ilustrar cada situação abaixo:
(a) limitada e crescente;
(a) limitada e crescente;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para darmos um exemplo de uma sequência
que não seja constante, mas que seja limitada e crescente. Aqui, vamos trabalhar com conceitos de sequências numéricas, limitação e monotonicidade crescente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser limitada e crescente:
-
Sequência Crescente: Uma sequência
é dita crescente se, para todo , o próximo termo é maior ou igual ao termo anterior. Ou seja, para todo . -
Sequência Limitada: Uma sequência é limitada se existe um número real que “limita” seus termos, ou seja, todos os termos da sequência são menores ou iguais a um certo número (limite superior) e maiores ou iguais a outro número (limite inferior).
Passo 3
Agora, para encontrar uma sequência que seja não constante, crescente e limitada, podemos pensar em uma que se aproxime de um certo valor sem nunca ultrapassá-lo. Um bom exemplo disso é a sequência
.
Vamos verificar se ela atende aos requisitos:
-
Não Constante: A sequência varia com
, já que conforme aumenta, diminui, fazendo aumentar. -
Crescente: Calculando
e , percebemos que , então . Logo, a sequência é crescente. -
Limitada: Vamos ver os limites inferior e superior:
- Limite Inferior: Para todo
, . - Limite Superior: Conforme
tende ao infinito, tende a 0, então tende a 1. Assim, para todo .
- Limite Inferior: Para todo
Portanto, a sequência está limitada entre 0 e 1.
Resposta
Um exemplo de sequência não constante, limitada e crescente é
.
Exercícios relacionados
d)
(b) Usando a identidade da alternativa anterior, mostre que, se
, então pelo menos um dos dois números
e
é um múltiplo inteiro de
.
Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
(e)
(e)
Expresse pelo seu termo geral
, cada uma das seguintes sequências.
(g)
(g)