(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação
quando
estiver no intervalo dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usarmos a Desigualdade de Taylor para estimar o erro na aproximação de pela série de Taylor
no intervalo de
a
. Ou seja, queremos saber quão precisa é essa aproximação quando usamos um polinômio de quinto grau centrado em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Desigualdade de Taylor. Ela nos dá uma forma de estimar o erro quando aproximamos uma função por um polinômio de Taylor. A desigualdade diz que o erro
é menor ou igual a:
Aqui,
é um valor máximo para a derivada de ordem
da função no intervalo considerado.
Passo 3
No nosso caso, a função é e estamos usando o polinômio de Taylor de ordem
. Então, precisamos achar
, que é o máximo de
no intervalo
.
Passo 4
Calculando as derivadas de :
A derivada sexta é . Sabemos que o valor absoluto de nunca é maior que 1. Então,
.
Passo 5
Agora, aplicamos a Desigualdade de Taylor:
Sabemos que
, então
no máximo é
.
Passo 6
Substituindo os valores na desigualdade:
Resposta
A precisão da aproximação é, no máximo,
Exercícios relacionados
Prove que
para todo
.
(b) Em vista de (a), explique por que a equação
está correta.
Seja
, uma função tal que
se
e,
.
Determine a imagem inversa , em que
.
Determine a imagem inversa
(a) Aproxime
por um polinômio de Taylor com grau
no número
.