(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f(x) aproximadamente T_n(x) quando x estiver no intervalo dado. f(x) = sen(x), a = pi / 4, n = 5, 0 <= x <= pi / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usarmos a Desigualdade de Taylor para estimar o erro na aproximação de pela série de Taylor no intervalo de a . Ou seja, queremos saber quão precisa é essa aproximação quando usamos um polinômio de quinto grau centrado em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Desigualdade de Taylor. Ela nos dá uma forma de estimar o erro quando aproximamos uma função por um polinômio de Taylor. A desigualdade diz que o erro é menor ou igual a:
Aqui, é um valor máximo para a derivada de ordem da função no intervalo considerado.

Passo 3

No nosso caso, a função é e estamos usando o polinômio de Taylor de ordem . Então, precisamos achar , que é o máximo de no intervalo .

Passo 4

Calculando as derivadas de :
A derivada sexta é . Sabemos que o valor absoluto de nunca é maior que 1. Então, .

Passo 5

Agora, aplicamos a Desigualdade de Taylor:
Sabemos que , então no máximo é .

Passo 6

Substituindo os valores na desigualdade:

Resposta

A precisão da aproximação é, no máximo,

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