Prove que para todo .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que para todo , onde é um número natural. Esse tipo de prova geralmente utiliza o princípio da indução matemática, que nos ajuda a demonstrar que uma afirmação vale para todos os números naturais a partir de um certo ponto. Para isso, vamos precisar entender como funciona a indução e aplicar seus passos.

Passo 2

Base da indução: Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o menor valor de que nos interessa, que é .
Calculando:
Então, a base da indução é verdadeira.

Passo 3

Hipótese de indução: Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum número natural , ou seja, que . Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Passo indutivo: Precisamos provar que, se a hipótese de indução é verdadeira para , então ela também é verdadeira para . Ou seja, precisamos mostrar que .
Sabemos que:
Pela hipótese de indução, , então:
Agora, precisamos verificar se para :
Portanto:
Então, temos:
Logo, , provando que a afirmação é verdadeira para .

Resposta

Pelo princípio da indução matemática, concluímos que para todo , onde é um número natural.

Exercícios relacionados

(b) Em vista de (a), explique por que a equação
está correta.
Suponha que e sejam conjuntos contidos em . Mostre que:
.
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação quando estiver no intervalo dado.
Seja , uma função tal que se e, .
Determine a imagem inversa , em que .