Prove que
para todo
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar que
para todo
, onde
é um número natural. Esse tipo de prova geralmente utiliza o princípio da indução matemática, que nos ajuda a demonstrar que uma afirmação vale para todos os números naturais a partir de um certo ponto. Para isso, vamos precisar entender como funciona a indução e aplicar seus passos.
Passo 2
Base da indução: Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o menor valor de
que nos interessa, que é
.
Calculando:
Então, a base da indução é verdadeira.
Passo 3
Hipótese de indução: Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum número natural
, ou seja, que
. Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 4
Passo indutivo: Precisamos provar que, se a hipótese de indução é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
. Ou seja, precisamos mostrar que
.
Sabemos que:
Pela hipótese de indução,
, então:
Agora, precisamos verificar se
para
:
Portanto:
Então, temos:
Logo,
, provando que a afirmação é verdadeira para
.
Resposta
Pelo princípio da indução matemática, concluímos que
para todo
, onde
é um número natural.
Exercícios relacionados
(b) Em vista de (a), explique por que a equação
está correta.
Suponha que
e
sejam conjuntos contidos em
. Mostre que:
.
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação
quando
estiver no intervalo dado.
Seja
, uma função tal que
se
e,
.
Determine a imagem inversa , em que
.
Determine a imagem inversa