Seja , uma função tal que se e, .
Determine a imagem inversa , em que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função definida por se e . O que a gente precisa encontrar é a imagem inversa dessa função para o conjunto . Ou seja, queremos saber quais valores de fazem com que esteja entre 1 e 4. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções e inequações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a imagem inversa. A imagem inversa é o conjunto de todos os valores no domínio de que, quando aplicamos a função , resultam em valores que pertencem a . Matemáticamente, isso significa:

Passo 3

Agora, substituímos na expressão:
Como para , temos:

Passo 4

Vamos resolver a inequação . Para isso, vamos separar em duas partes:

Passo 5

Primeiro, resolvendo :
Segundo, resolvendo :

Passo 6

Agora, vamos combinar as duas condições:
Isso nos dá os intervalos onde ambas as condições são satisfeitas:

Resposta

Portanto, a imagem inversa é:

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(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação quando estiver no intervalo dado.
Prove que para todo .
(a) Aproxime por um polinômio de Taylor com grau no número .
Seja , uma função tal que se e, .
Determine a imagem direta , em que .