(b) Em vista de (a), explique por que a equação
está correta.
Passo 1
Então, a gente tem uma equação envolvendo limites:
Aqui, estamos trabalhando com limites, que é um conceito de Cálculo. Para resolver isso, precisamos entender como simplificar frações algébricas e como os limites se comportam quando substituímos valores próximos ao que estamos analisando.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão do limite à esquerda:
Para simplificar essa fração, vamos fatorar o numerador. Queremos escrever
como um produto de dois binômios.
Passo 3
Fatorando o numerador:
Então, nossa expressão fica:
Passo 4
Agora, podemos simplificar a fração cancelando o
que está no numerador e no denominador:
Isso mostra que, para
, a fração original é igual a
.
Passo 5
Voltando ao limite, agora que simplificamos a expressão, temos:
Isso está correto porque, ao simplificar a fração para
, eliminamos a indeterminação que ocorreria se tentássemos substituir
diretamente na fração original.
Resposta
A equação está correta porque, ao simplificar a fração
para
, removemos a indeterminação, permitindo calcular o limite substituindo diretamente
, o que valida a igualdade dos dois limites.
Exercícios relacionados
Suponha que
e
sejam conjuntos contidos em
. Mostre que:
.
(a) Aproxime
por um polinômio de Taylor com grau
no número
.
Prove que
para todo
.
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação
quando
estiver no intervalo dado.