b) Use o fato de que é uma função separávelpara calcular
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral definida de de a , utilizando o fato de que a função é separável. Isso está relacionado ao cálculo de integrais gaussianas, que aparecem frequentemente em áreas como probabilidade e física.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o quadrado da integral que queremos calcular:
Isso nos ajuda a simplificar o cálculo utilizando coordenadas polares.
Passo 3
Expandindo o quadrado, temos:
Como é uma função separável, podemos escrever a integral dupla como o produto das integrais simples.
Passo 4
Agora, vamos mudar para coordenadas polares onde e . O elemento de área se transforma em . Portanto, a integral dupla fica:
Passo 5
Primeiro, resolvemos a integral em :
Fazendo a substituição , então ou , a integral vira:
Passo 6
Agora, resolvemos a integral em :
Multiplicando os resultados das duas integrais:
Então, temos:
Passo 7
Para encontrar a integral original, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados: