b) Use o fato de que f(x, y)=e^-(x^2+y^2) é uma função separávelpara calcular
integral-infty^infty e^-x^2 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida de de a , utilizando o fato de que a função é separável. Isso está relacionado ao cálculo de integrais gaussianas, que aparecem frequentemente em áreas como probabilidade e física.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o quadrado da integral que queremos calcular:
( integral-infty^infty e^-x^2 dx )^2
Isso nos ajuda a simplificar o cálculo utilizando coordenadas polares.

Passo 3

Expandindo o quadrado, temos:
integral-infty^infty e^-x^2 dx times integral-infty^infty e^-y^2 dy = integral-infty^infty integral-infty^infty e^-(x^2+y^2) dx dy
Como é uma função separável, podemos escrever a integral dupla como o produto das integrais simples.

Passo 4

Agora, vamos mudar para coordenadas polares onde integral0^2pi integral0^infty e^-r^2 r dr dtheta e . O elemento de área se transforma em . Portanto, a integral dupla fica:

Passo 5

Primeiro, resolvemos a integral em integral0^infty e^-r^2 r dr :
12 integral0^infty e^-u du = 12
Fazendo a substituição , então ou , a integral vira:

Passo 6

Agora, resolvemos a integral em integral0^2pi dtheta = 2pi :
12 times 2pi = pi
Multiplicando os resultados das duas integrais:
( integral-infty^infty e^-x^2 dx )^2 = pi
Então, temos:

Passo 7

Para encontrar a integral original, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
integral-infty^infty e^-x^2 dx = raizpi

Resposta

A integral de de a é igual a .

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