que a soma de uma série geométrica com |r|<1 é dada por S=a01-r. Use esta fórmula para calcular a soma das seguintes séries geométricas: sumn=1^infty(-18)^n
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que a soma de uma série geométrica com razão é dada por . Depois disso, devemos usar essa fórmula para calcular a soma da série . Então, vamos precisar entender o que é série geométrica e como aplicar essa fórmula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série geométrica. Uma série geométrica é uma soma infinita onde cada termo é igual ao termo anterior multiplicado por uma razão constante . A soma dessa série, quando , converge e pode ser calculada com a fórmula , onde é o primeiro termo da série.
Passo 3
Agora, vamos provar que a soma S = a0 + a0 cdot r + a0 cdot r^2 + a0 cdot r^3 + dots está correta. Começamos escrevendo a soma da série geométrica:
Para encontrar o valor de S - rS = a0 + (a0 cdot r - a0 cdot r) + (a0 cdot r^2 - a0 cdot r^2) + dots , multiplicamos ambos os lados por S (1 - r) = a0 :
S = a01 - r
Agora, subtraímos de :
Isso simplifica para:
Dividindo ambos os lados por :
Então, mostramos que a fórmula está correta.
Passo 4
Agora, vamos aplicar essa fórmula para calcular a soma da série . Primeiro, identificamos os termos da nossa série.
O primeiro termo () é . A razão é .
Passo 5
Como a fórmula que temos é S = a11 - r , precisamos ajustar para a nossa série que começa em S = -181 - (-18) = -181 + 18 = -1898 = -19 . Na nossa série, o primeiro termo é , então: