que a soma de uma série geométrica com |r|<1 é dada por S=a01-r. Use esta fórmula para calcular a soma das seguintes séries geométricas: sumn=2^infty(79)^n
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a soma de uma série geométrica com razão é dada por . Depois, temos que usar essa fórmula para calcular a soma da série . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica, identificar os termos da série e aplicar a fórmula da soma.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série geométrica. É uma soma infinita de termos onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante S = a0 + a0r + a0r^2 + a0r^3 + dots . A forma geral de uma série geométrica é:
Passo 3
Agora, a condição S = a01 - r é importante porque garante que a série converge, ou seja, que a soma dos termos não vai para o infinito, mas sim para um valor finito. Quando essa condição é satisfeita, podemos usar a fórmula da soma da série geométrica infinita:
Passo 4
Vamos aplicar isso à nossa série específica . Primeiro, observe que essa série começa no termo , então precisamos ajustar a fórmula da soma para começar nesse ponto.
Passo 5
A série que começa em S = (79)^2 + (79)^3 + (79)^4 + dots pode ser reescrita como:
Isso é equivalente a subtrair os primeiros dois termos (quando e ) da série completa que começa em .
Passo 6
A série completa que começa em Scomp<=ta = 1 + 79 + (79)^2 + (79)^3 + dots = 11 - 79 = 92 é:
Passo 7
Como queremos a soma a partir de S = Scomp<=ta - 1 - 79 = 92 - 1 - 79 , subtraímos os dois primeiros termos da série completa: