Mostre que a soma de uma série geométrica com |r|<1 é dada por S=a01-r. Use esta fórmula para calcular a soma das seguintes séries geométricas: sumn=2^infty(79)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a soma de uma série geométrica com razão é dada por . Depois, temos que usar essa fórmula para calcular a soma da série . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica, identificar os termos da série e aplicar a fórmula da soma.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série geométrica. É uma soma infinita de termos onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante S = a0 + a0r + a0r^2 + a0r^3 + dots . A forma geral de uma série geométrica é:

Passo 3

Agora, a condição S = a01 - r é importante porque garante que a série converge, ou seja, que a soma dos termos não vai para o infinito, mas sim para um valor finito. Quando essa condição é satisfeita, podemos usar a fórmula da soma da série geométrica infinita:

Passo 4

Vamos aplicar isso à nossa série específica . Primeiro, observe que essa série começa no termo , então precisamos ajustar a fórmula da soma para começar nesse ponto.

Passo 5

A série que começa em S = (79)^2 + (79)^3 + (79)^4 + dots pode ser reescrita como:
Isso é equivalente a subtrair os primeiros dois termos (quando e ) da série completa que começa em .

Passo 6

A série completa que começa em Scomp<=ta = 1 + 79 + (79)^2 + (79)^3 + dots = 11 - 79 = 92 é:

Passo 7

Como queremos a soma a partir de S = Scomp<=ta - 1 - 79 = 92 - 1 - 79 , subtraímos os dois primeiros termos da série completa:

Passo 8

Vamos calcular isso passo a passo:
92 - 1 = 92 - 22 = 72
72 - 79 = 6318 - 1418 = 4918

Resposta

A soma da série geométrica é .

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Use o teste da integral e mostre que a série sumn=1^infty 1n^p converge se p>1 e diverge se p <= 1. (Não se esqueça de verificar as hipóteses do teste da integral)
b) Use o fato de que f(x, y)=e^-(x^2+y^2) é uma função separávelpara calcular
integral-infty^infty e^-x^2 d x
c) Efetuando a mudança de variável t=raiz2 x, calcule
integral-infty^infty e^-x^22 d x