c) Efetuando a mudança de variável t=raiz2 x, calcule
integral-infty^infty e^-x^22 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral usando a mudança de variável . Isso envolve cálculo de integrais e uma mudança de variável, que são tópicos de cálculo integral. Para resolver, a gente vai precisar entender como fazer substituições em integrais e lembrar como calcular integrais que envolvem exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a mudança de variável proposta: . Isso significa que queremos expressar tudo em termos de ao invés de .

Passo 3

Com dx = dtraiz2 , podemos resolver para : . Agora, vamos calcular o diferencial . Derivando ambos os lados em relação a , temos:

Passo 4

Agora substituímos integral-infty^infty e^-x^22 dx = integral-infty^infty e^-(traiz2)^22 cdot dtraiz2 e na integral original:

Passo 5

Vamos simplificar o expoente:
(traiz2)^2 = t^22
Então, o expoente fica:
-t^222 = -t^24
Mas na verdade, percebemos que houve um erro. Vamos reavaliar:
Na verdade:
-x^22 = -(traiz2)^22 = -t^222 = -t^24
Portanto, a integral fica:
integral-infty^infty e^-t^24 cdot dtraiz2

Passo 6

Vamos reescrever a integral:
1raiz2 integral-infty^infty e^-t^24 dt
Sabemos que . Aqui, .

Passo 7

Aplicando a fórmula:
integral-infty^infty e^-t^24 dt = raizpi14 = raiz4pi = 2raizpi
Então, substituindo de volta:
1raiz2 cdot 2raizpi = 2raizpiraiz2 = raiz2raizpi = raiz2pi

Resposta

A integral é igual a .

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