B) (Valor 4 pontos) A integral imprópria integrale^+infty 1x(ln x)^2 d x converge ou diverge? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos conferir essa integral imprópria: integrale^+infty 1x(ln x)^2 dx. Isso faz parte do cálculo integral, mais especificamente das integrais impróprias, onde precisamos descobrir se a integral tem um valor finito (converge) ou se não tem limite (diverge). Para resolver, vamos analisar o comportamento da função e aplicar um teste de convergência adequado.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar u = ln x. Assim, a derivada de u em relação a x é du/dx = 1/x, o que significa que dx = x du. Porém, na integral original temos dx multiplicado por 1/(x (ln x)^2), então substituindo:
integral 1x (ln x)^2 dx = integral 1u^2 du

Passo 3

Agora, vamos integrar 1u^2 em relação a u. A integral de u^-2 é:
integral u^-2 du = -u^-1 + C = -1u + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 4

Voltando à variável original, onde u = ln x, a integral indefinida fica:
-1ln x + C
Agora, precisamos avaliar os limites da integral definida de e a +infty.

Passo 5

Vamos calcular os limites:
Para x = e:
-1ln e = -11 = -1
Para x to +infty:
ln x to +infty, então -1ln x to 0

Resposta

A integral imprópria integrale^+infty 1x(ln x)^2 dx converge e seu valor é 1.

Exercícios relacionados

B) (Valor 4 pontos) Calcular a área da região limitada pelos gráficos das equaçöes do item (A).
Calcule as integrais x b)(Valor 4 pontos) integral d xx^2+6 x+12
Calcule as integrais x a)(Valor 4 pontos) integral cos ^4 x sen^3 x d x
A)(Valor 4 pontos) Esboce a região limitada pelos gráficos das equações
y=e^(-x), y=x+1 e x=-1