Calcule as integrais x b)(Valor 4 pontos) integral d xx^2+6 x+12

Passo 1

Vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma função racional, especificamente uma fração onde o numerador é 1 e o denominador é um polinômio quadrático. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado no denominador para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, completamos o quadrado no denominador x^2 + 6x + 12 = (x^2 + 6x + 9) + 3 = (x + 3)^2 + 3 . Para isso, pegamos os coeficientes de :

Passo 3

Agora, a integral fica:
integral dx(x + 3)^2 + 3
Reconhecemos essa forma como a integral da função , cuja antiderivada é , onde é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando a fórmula, identificamos 1raiz3 tan^-1(x + 3raiz3) + C e , então . A antiderivada será:

Resposta

integral dxx^2 + 6x + 12 = 1raiz3 tan^-1(x + 3raiz3) + C

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