Calcule as integrais x a)(Valor 4 pontos) integral cos ^4 x sen^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral cos^4 x cdot sin^3 x , dx. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar integrais mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os expoentes das funções trigonométricas. Temos cos^4 x e sin^3 x. Geralmente, quando temos potências ímpares de uma função trig trigonométrica (como sin^3 x aqui), é uma boa ideia separar uma parte para usar na substituição.

Passo 3

Vamos reescrever a integral separando uma sin x:
integral cos^4 x cdot sin^3 x , dx = integral cos^4 x cdot sin^2 x cdot sin x , dx
Agora, usamos a identidade trigonométrica sin^2 x = 1 - cos^2 x para substituir:
= integral cos^4 x cdot (1 - cos^2 x) cdot sin x , dx

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
= integral (cos^4 x - cos^6 x) cdot sin x , dx

Passo 5

Agora, vamos fazer a substituição. Vamos deixar u = cos x. Então, a derivada de u em relação a x é du = -sin x , dx, ou seja, -sin x , dx = du.

Passo 6

Vamos substituir na integral:
= integral (u^4 - u^6) cdot (-du)
Isso simplifica para:
= -integral (u^4 - u^6) , du = integral (u^6 - u^4) , du

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
integral u^6 , du - integral u^4 , du = u^77 - u^55 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Finalmente, substituímos u = cos x de volta:
cos^7 x7 - cos^5 x5 + C

Resposta

A integral integral cos^4 x cdot sin^3 x , dx é igual a cos^7 x7 - cos^5 x5 + C, onde C é a constante de integração.

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