A)(Valor 4 pontos) Esboce a região limitada pelos gráficos das equações
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa desenhar a região que está limitada pelos gráficos das equações
,
e
. Isso envolve entender gráficos de funções exponenciais e lineares, além de encontrar onde essas curvas se encontram e como elas delimitam uma área específica no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada uma dessas funções:
-
é uma função exponencial decrescente. -
é uma reta com inclinação positiva. -
é uma linha vertical que cruza o eixo x no ponto -1.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos onde essas curvas se intersectam, ou seja, onde elas têm o mesmo valor de y para o mesmo x.
Passo 4
Vamos encontrar a interseção entre
e
. Igualando as duas equações:
Esse tipo de equação geralmente não tem solução algébrica fácil, então podemos resolver numericamente ou por tentativa e erro. Vamos testar alguns valores de x:
- Para
:
Então,
é um ponto de interseção.
- Para
:
Como
, a interseção acontece antes de x=1.
- Para
:
Como
, já sabemos que a interseção está entre x=-1 e x=1. Pelo nosso primeiro teste, sabemos que x=0 é um ponto de interseção.
Passo 5
Agora, vamos considerar a linha vertical
. Ela vai delimitar a região à esquerda. Precisamos verificar onde
intersecta as outras duas curvas.
Para
em
:
Para
em
:
Então, os pontos de interseção com
são
e
.
Passo 6
Com esses pontos de interseção, podemos esboçar os gráficos:
- Desenhe a reta
, que passa pelos pontos e . - Desenhe a curva exponencial
, que passa por e . - Desenhe a linha vertical
.
A região delimitada por essas curvas é o espaço entre
, a reta e a curva exponencial.
Resposta
A região limitada pelas equações
,
e
está delimitada pela reta que passa por
e
, pela curva exponencial que passa por
e
, e pela linha vertical em
. Ao desenhar esses gráficos, a área entre esses limites forma a região solicitada.
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