Uma bacia em forma de semi-esfera flutua na superfície da água. A massa da bacia é de
. Despeja-se mercúrio aos poucos na bacia. No momento em que bacia afunda o volume de mercúrio despejado é
. Considere a densidade da água como
e do mercúrio
. (a) Calcule o raio externo da bacia.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o problema nos diz. Temos uma bacia em forma de semi-esfera que está flutuando na água, com uma massa de 1,50 kg. Quando adicionamos mercúrio a essa bacia, ela afunda quando despejamos 2000 cm³ de mercúrio. As densidades envolvidas são: água com 0,988 g/cm³ e mercúrio com 13,5 g/cm³. Nosso objetivo aqui é calcular o raio externo dessa bacia. Para resolver isso, vamos usar o princípio de Arquimedes, que fala sobre empuxo e equilíbrio de forças em fluidos, além de trabalhar com volumes de semi-esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Princípio de Arquimedes, que afirma que um objeto imerso em um fluido sofre uma força de empuxo igual ao peso do fluido deslocado. Quando a bacia está flutuando, o peso da bacia é igual ao peso da água que ela desloca.
Matematicamente, isso fica assim:
Onde:
-
é o peso da bacia. -
é o peso da água deslocada pela bacia.
Passo 3
Vamos calcular o peso da bacia. Sabemos que peso é massa vezes a aceleração da gravidade (
). Então:
Dado que:
-
(convertendo para gramas para facilitar) -
(valor padrão da gravidade)
Então:
(Nota: 1 N = 10^5 dyn, mas como as unidades cancelam, podemos prosseguir com g em cm/s² para manter compatibilidade com cm³)
Passo 4
Agora, aplicando o Princípio de Arquimedes:
Onde:
-
-
é o volume de água deslocado pela bacia.
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Resolvendo para
:
Então, a bacia desloca aproximadamente 1517,2 cm³ de água quando está flutuando.
Passo 6
Agora, quando despejamos 2000 cm³ de mercúrio na bacia, a bacia afunda totalmente. Nesse momento, todo o volume interno da bacia está imerso na água e no mercúrio.
O volume total deslocado
será a soma do volume da água deslocada inicialmente mais o volume de mercúrio adicionado:
Passo 7
Agora, vamos relacionar esse volume total deslocado com o volume da bacia em forma de semi-esfera. A fórmula do volume de uma esfera é
, então o volume de uma semi-esfera é metade disso:
Igualando ao volume total deslocado:
Passo 8
Resolvendo para
:
Agora, tiramos a raiz cúbica para encontrar
:
Resposta
O raio externo da bacia é aproximadamente
.