Uma bacia em forma de semi-esfera flutua na superfície da água. A massa da bacia é de . Despeja-se mercúrio aos poucos na bacia. No momento em que bacia afunda o volume de mercúrio despejado é . Considere a densidade da água como e do mercúrio . (a) Calcule o raio externo da bacia.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o problema nos diz. Temos uma bacia em forma de semi-esfera que está flutuando na água, com uma massa de 1,50 kg. Quando adicionamos mercúrio a essa bacia, ela afunda quando despejamos 2000 cm³ de mercúrio. As densidades envolvidas são: água com 0,988 g/cm³ e mercúrio com 13,5 g/cm³. Nosso objetivo aqui é calcular o raio externo dessa bacia. Para resolver isso, vamos usar o princípio de Arquimedes, que fala sobre empuxo e equilíbrio de forças em fluidos, além de trabalhar com volumes de semi-esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Princípio de Arquimedes, que afirma que um objeto imerso em um fluido sofre uma força de empuxo igual ao peso do fluido deslocado. Quando a bacia está flutuando, o peso da bacia é igual ao peso da água que ela desloca.
Matematicamente, isso fica assim:
á
Onde:
  • é o peso da bacia.
  • á é o peso da água deslocada pela bacia.

Passo 3

Vamos calcular o peso da bacia. Sabemos que peso é massa vezes a aceleração da gravidade ( ). Então:
Dado que:
  • (convertendo para gramas para facilitar)
  • ² (valor padrão da gravidade)
Então:
²
(Nota: 1 N = 10^5 dyn, mas como as unidades cancelam, podemos prosseguir com g em cm/s² para manter compatibilidade com cm³)

Passo 4

Agora, aplicando o Princípio de Arquimedes:
áá
Onde:
  • á³
  • á é o volume de água deslocado pela bacia.
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por :
áá
³á

Passo 5

Resolvendo para á:
á³
á³
Então, a bacia desloca aproximadamente 1517,2 cm³ de água quando está flutuando.

Passo 6

Agora, quando despejamos 2000 cm³ de mercúrio na bacia, a bacia afunda totalmente. Nesse momento, todo o volume interno da bacia está imerso na água e no mercúrio.
O volume total deslocado será a soma do volume da água deslocada inicialmente mais o volume de mercúrio adicionado:
áú
³³
³

Passo 7

Agora, vamos relacionar esse volume total deslocado com o volume da bacia em forma de semi-esfera. A fórmula do volume de uma esfera é ³, então o volume de uma semi-esfera é metade disso:
³
Igualando ao volume total deslocado:
³³

Passo 8

Resolvendo para ³:
³
³
³³
Agora, tiramos a raiz cúbica para encontrar :

Resposta

O raio externo da bacia é aproximadamente .

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