Uma bacia em forma de semi-esfera flutua na superfície da água. A massa da bacia é de
. Despeja-se mercúrio aos poucos na bacia. No momento em que bacia afunda o volume de mercúrio despejado é
. Considere a densidade da água como
e do mercúrio
. (a) Calcule o raio externo da bacia.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o problema nos diz. Temos uma bacia em forma de semi-esfera que está flutuando na água, com uma massa de 1,50 kg. Quando adicionamos mercúrio a essa bacia, ela afunda quando despejamos 2000 cm³ de mercúrio. As densidades envolvidas são: água com 0,988 g/cm³ e mercúrio com 13,5 g/cm³. Nosso objetivo aqui é calcular o raio externo dessa bacia. Para resolver isso, vamos usar o princípio de Arquimedes, que fala sobre empuxo e equilíbrio de forças em fluidos, além de trabalhar com volumes de semi-esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Princípio de Arquimedes, que afirma que um objeto imerso em um fluido sofre uma força de empuxo igual ao peso do fluido deslocado. Quando a bacia está flutuando, o peso da bacia é igual ao peso da água que ela desloca.
Matematicamente, isso fica assim:
Onde:
-
é o peso da bacia. -
é o peso da água deslocada pela bacia.
Passo 3
Vamos calcular o peso da bacia. Sabemos que peso é massa vezes a aceleração da gravidade (
). Então:
Dado que:
-
(convertendo para gramas para facilitar) -
(valor padrão da gravidade)
Então:
(Nota: 1 N = 10^5 dyn, mas como as unidades cancelam, podemos prosseguir com g em cm/s² para manter compatibilidade com cm³)
Passo 4
Agora, aplicando o Princípio de Arquimedes:
Onde:
-
-
é o volume de água deslocado pela bacia.
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Resolvendo para
:
Então, a bacia desloca aproximadamente 1517,2 cm³ de água quando está flutuando.
Passo 6
Agora, quando despejamos 2000 cm³ de mercúrio na bacia, a bacia afunda totalmente. Nesse momento, todo o volume interno da bacia está imerso na água e no mercúrio.
O volume total deslocado
será a soma do volume da água deslocada inicialmente mais o volume de mercúrio adicionado:
Passo 7
Agora, vamos relacionar esse volume total deslocado com o volume da bacia em forma de semi-esfera. A fórmula do volume de uma esfera é
, então o volume de uma semi-esfera é metade disso:
Igualando ao volume total deslocado:
Passo 8
Resolvendo para
:
Agora, tiramos a raiz cúbica para encontrar
:
Resposta
O raio externo da bacia é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
O motor mostrado é utilizado para girar uma roda e um ventilador preso a ela mantido dentro do alojamento. Se a polia A conectada ao motor começa a girar do repouso com uma aceleração angular constante
, determine as intensidades de velocidade e aceleração do ponto P na roda, após a polia ter girado duas revoluções. Suponha que a correia de transmissão não desliza sobre a polia e a roda.
Resposta:
Um corpo de prova de aço com diâmetro original de 13 mm e 50 mm de comprimento de referência foi submetido a um ensaio de tração. Os dados resultantes são apresentados na tabela. Construa o gráfico do diagrama tensão-deformação e determine os valores aproximados do módulo de elasticidade, da tensão de escoamento, do limite de resistência e da tensão de ruptura. Use uma escala de
e 10
. Desenhe novamente a região elástica usando a mesma escala de tensão, mas use uma escala de deformação de
. (Resposta:
MPa;
😉
Carga (kN) | Alongamento (mm) |
---|---|
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7,5 |
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O conjunto de pendural é usado para suportar um carregamento distribuído w = 12
. Determine a tensão de cisalhamento média no parafuso de 10 mm de diâmetro em A e a tensão de tração média na haste
, com diâmetro de 12 mm . Se a tensão de escoamento por cisalhamento para o parafuso for
e a tensão de escoamento por tração para a haste for
, determine o fator de segurança em relação ao escoamento em cada caso.
Na água do mar uma boia salva-vidas com volume igual a
pode suportar o peso de uma pessoa com mașsa igual a
(com densidade
) mantendo
do volume desta pessoa acima da água quando a boia está completamente submersa. Considere a densidade da água do mar como sendo
.
(a) Calcule a densidade do material que compõe a bóia
(a) Calcule a densidade do material que compõe a bóia