Uma bacia em forma de semi-esfera flutua na superfície da água. A massa da bacia é de 1,50 kg. Despeja-se mercúrio aos poucos na bacia. No momento em que bacia afunda o volume de mercúrio despejado é 2000 cm^3. Considere a densidade da água como 0,988 g / cm^3 e do mercúrio 13,5 g / cm^3. (a) Calcule o raio externo da bacia.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o problema nos diz. Temos uma bacia em forma de semi-esfera que está flutuando na água, com uma massa de 1,50 kg. Quando adicionamos mercúrio a essa bacia, ela afunda quando despejamos 2000 cm³ de mercúrio. As densidades envolvidas são: água com 0,988 g/cm³ e mercúrio com 13,5 g/cm³. Nosso objetivo aqui é calcular o raio externo dessa bacia. Para resolver isso, vamos usar o princípio de Arquimedes, que fala sobre empuxo e equilíbrio de forças em fluidos, além de trabalhar com volumes de semi-esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Princípio de Arquimedes, que afirma que um objeto imerso em um fluido sofre uma força de empuxo igual ao peso do fluido deslocado. Quando a bacia está flutuando, o peso da bacia é igual ao peso da água que ela desloca.
Matematicamente, isso fica assim:
Pbacia = Págua deslocada á
Onde:
  • é o peso da bacia.
  • á é o peso da água deslocada pela bacia.

Passo 3

Vamos calcular o peso da bacia. Sabemos que peso é massa vezes a aceleração da gravidade ( Pbacia = mbacia times g ). Então:
Pbacia = 1500 , g times 9,81 , m/s²
Dado que:
  • Pbacia = 14715 , dyn (convertendo para gramas para facilitar)
  • ² (valor padrão da gravidade)
Então:
²
(Nota: 1 N = 10^5 dyn, mas como as unidades cancelam, podemos prosseguir com g em cm/s² para manter compatibilidade com cm³)

Passo 4

Agora, aplicando o Princípio de Arquimedes:
Pbacia = rhoágua times Vágua deslocada times g áá
Onde:
  • mbacia = rhoágua times Vágua deslocada á³
  • 1500 , g = 0,988 , g/cm³ times Vágua deslocada á é o volume de água deslocado pela bacia.
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por :
áá
³á

Passo 5

Resolvendo para Vágua deslocada = 1500 , g0,988 , g/cm³ á:
Vágua deslocada approx 1517,2 , cm³ á³
á³
Então, a bacia desloca aproximadamente 1517,2 cm³ de água quando está flutuando.

Passo 6

Agora, quando despejamos 2000 cm³ de mercúrio na bacia, a bacia afunda totalmente. Nesse momento, todo o volume interno da bacia está imerso na água e no mercúrio.
O volume total deslocado Vtotal = Vágua deslocada + Vmercúrio será a soma do volume da água deslocada inicialmente mais o volume de mercúrio adicionado:
Vtotal = 1517,2 , cm³ + 2000 , cm³ áú
Vtotal = 3517,2 , cm³ ³³
³

Passo 7

Agora, vamos relacionar esse volume total deslocado com o volume da bacia em forma de semi-esfera. A fórmula do volume de uma esfera é Vsemi-esfera = 23 pi r³ ³, então o volume de uma semi-esfera é metade disso:
23 pi r³ = 3517,2 , cm³ ³
Igualando ao volume total deslocado:
³³

Passo 8

Resolvendo para r³ = 3517,2 times 32 pi ³:
r³ = 10551,66,2832 ³
r³ approx 1679,3 , cm³ ³
r = raiz[3]1679,3 ³³
Agora, tiramos a raiz cúbica para encontrar r approx 11,89 , cm :

Resposta

O raio externo da bacia é aproximadamente .

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