Na água do mar uma boia salva-vidas com volume igual a 45,5 L pode suportar o peso de uma pessoa com mașsa igual a 66,7 kg (com densidade 0,980 g / cm^3 ) mantendo 38,7 % do volume desta pessoa acima da água quando a boia está completamente submersa. Considere a densidade da água do mar como sendo 1,04 g / cm^3.
(a) Calcule a densidade do material que compõe a bóia

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo necessário para resolvê-la.
Enunciado Resumido:
Uma boia salva-vidas com volume de pode suportar uma pessoa de , mantendo do volume da pessoa acima da água quando completamente submersa. A densidade da água do mar é . Precisamos calcular a densidade do material que compõe a boia.
Conteúdo da Matéria:
Vamos utilizar o princípio de Arquimedes, que relaciona o empuxo recebido por um objeto imerso com o peso do fluido deslocado. Será necessário converter unidades para facilitar os cálculos e aplicar fórmulas de densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o sistema CGS (centímetro-grama-segundo) para facilitar os cálculos, já que a densidade está dada em .
  • Volume da boia:
  • Massa da pessoa:

Passo 3

Vamos entender o que significa que rho = mV do volume da pessoa fica acima da água. Isso implica que V = mrho do volume da pessoa está submerso.
Calculando o volume total da pessoa ( Vp = 66,700 , g0,980 , g/cm^3 approx 68,061,22 , cm^3 ):
Sabemos que a densidade ( ) é dada por:
Onde:
  • é a massa
  • é o volume
Rearranjando para encontrar o volume:
Então:

Passo 4

Como Vs = 0,613 times 68,061,22 , cm^3 approx 41,616,67 , cm^3 do volume da pessoa está submerso, o volume submerso ( ) é:

Passo 5

Segundo o princípio de Arquimedes, o empuxo ( E = rhoágua times Vs times g ) é igual ao peso do fluido deslocado:
E = (rhoboia times Vboia + 66,700 , g) times g á
Onde:
  • rhoágua times Vs = rhoboia times Vboia + 66,700 , g á
  • é o volume submerso
  • é a aceleração da gravidade (podemos considerar para simplificar)
Como a boia está completamente submersa, o empuxo também é igual ao peso da boia mais o peso da pessoa:
Igualando as duas expressões para :
á

Passo 6

Agora, substituímos os valores conhecidos na equação:
1,04 , g/cm^3 times 41,616,67 , cm^3 = rhoboia times 45,500 , cm^3 + 66,700 , g
Calculando o lado esquerdo:
1,04 times 41,616,67 approx 43,081,33 , g
Então:
43,081,33 = rhoboia times 45,500 + 66,700

Passo 7

Agora, isolamos rhoboia times 45,500 = 43,081,33 - 66,700 :
rhoboia times 45,500 = -23,618,67
rhoágua times Vs times g = mpessoa times g
Isso resulta em um valor negativo, o que não faz sentido físico. Isso indica que há um erro nos cálculos anteriores.
Revisando o Passo 5, percebemos que a equação correta deve considerar apenas o peso da pessoa sendo suportado pelo empuxo. A boia fornece o empuxo necessário para manter a pessoa flutuando, então a equação correta é:
rhoágua times Vs = mpessoa á
Cancelando 1,04 times 41,616,67 = 66,700 :
43,081,33 approx 66,700 á
Substituindo os valores:
rhoágua times Vtotal submerso = mpessoa + mboia
Como , precisamos considerar que a boia também contribui para o empuxo. A correção é:
á
Onde

Passo 8

Então, a equação correta fica:
rhoágua times (Vboia + Vs) = mpessoa + rhoboia times Vboia á
Substituindo os valores conhecidos:
1,04 times (45,500 + 41,616,67) = 66,700 + rhoboia times 45,500
Calculando o volume total submerso:
45,500 + 41,616,67 = 87,116,67 , cm^3
Agora, multiplicando pela densidade da água do mar:
1,04 times 87,116,67 approx 90,401,34 , g
Então:
90,401,34 = 66,700 + rhoboia times 45,500

Passo 9

Isolando rhoboia times 45,500 = 90,401,34 - 66,700 :
rhoboia times 45,500 = 23,701,34
rhoboia = 23,701,3445,500 approx 0,521 , g/cm^3

Resposta

A densidade do material que compõe a boia é aproximadamente .

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