Na água do mar uma boia salva-vidas com volume igual a
pode suportar o peso de uma pessoa com mașsa igual a
(com densidade
) mantendo
do volume desta pessoa acima da água quando a boia está completamente submersa. Considere a densidade da água do mar como sendo
.
(a) Calcule a densidade do material que compõe a bóia
(a) Calcule a densidade do material que compõe a bóia
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo necessário para resolvê-la.
Enunciado Resumido:
Uma boia salva-vidas com volume de pode suportar uma pessoa de
, mantendo
do volume da pessoa acima da água quando completamente submersa. A densidade da água do mar é
. Precisamos calcular a densidade do material que compõe a boia.
Uma boia salva-vidas com volume de
Conteúdo da Matéria:
Vamos utilizar o princípio de Arquimedes, que relaciona o empuxo recebido por um objeto imerso com o peso do fluido deslocado. Será necessário converter unidades para facilitar os cálculos e aplicar fórmulas de densidade.
Vamos utilizar o princípio de Arquimedes, que relaciona o empuxo recebido por um objeto imerso com o peso do fluido deslocado. Será necessário converter unidades para facilitar os cálculos e aplicar fórmulas de densidade.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o sistema CGS (centímetro-grama-segundo) para facilitar os cálculos, já que a densidade está dada em
.
-
Volume da boia:
-
Massa da pessoa:
Passo 3
Vamos entender o que significa que
do volume da pessoa fica acima da água. Isso implica que
do volume da pessoa está submerso.
Calculando o volume total da pessoa (
):
Sabemos que a densidade (
) é dada por:
Onde:
-
é a massa -
é o volume
Rearranjando para encontrar o volume:
Então:
Passo 4
Como
do volume da pessoa está submerso, o volume submerso (
) é:
Passo 5
Segundo o princípio de Arquimedes, o empuxo (
) é igual ao peso do fluido deslocado:
Onde:
-
-
é o volume submerso -
é a aceleração da gravidade (podemos considerar para simplificar)
Como a boia está completamente submersa, o empuxo também é igual ao peso da boia mais o peso da pessoa:
Igualando as duas expressões para
:
Passo 6
Agora, substituímos os valores conhecidos na equação:
Calculando o lado esquerdo:
Então:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Isso resulta em um valor negativo, o que não faz sentido físico. Isso indica que há um erro nos cálculos anteriores.
Revisando o Passo 5, percebemos que a equação correta deve considerar apenas o peso da pessoa sendo suportado pelo empuxo. A boia fornece o empuxo necessário para manter a pessoa flutuando, então a equação correta é:
Cancelando
:
Substituindo os valores:
Como
, precisamos considerar que a boia também contribui para o empuxo. A correção é:
Onde
Passo 8
Então, a equação correta fica:
Substituindo os valores conhecidos:
Calculando o volume total submerso:
Agora, multiplicando pela densidade da água do mar:
Então:
Passo 9
Isolando
:
Resposta
A densidade do material que compõe a boia é aproximadamente
.