Uma bala de canhão é disparada da origem do sistema de coordenadas com uma velocidade inicial de módulo
, em uma direção que faz um ângulo
com a horizontal. Considere que este corpo está sujeito a força de resistência do ar linear
, além da força peso. Determine:
O vetor posição
da bala de canhão.
O vetor posição
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma bala de canhão sendo disparada da origem com uma velocidade inicial de módulo
, formando um ângulo
com a horizontal. Queremos descobrir o vetor posição
da bala ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos trabalhar com a física de movimentos com resistência do ar, especificamente com resistência linear, além da força da gravidade. Vamos precisar dividir o movimento em componentes horizontal e vertical e resolver as equações do movimento para cada uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos separar o movimento em duas direções: horizontal (
) e vertical (
). A velocidade inicial pode ser decomposta nessas direções:
Isso vai facilitar a análise das forças e movimentos em cada direção.
Passo 3
Vamos analisar a direção horizontal. A única força atuando horizontalmente é a resistência do ar, que é proporcional e oposta à velocidade:
De acordo com a segunda lei de Newton,
, temos:
Isso resulta em uma equação diferencial:
Passo 4
Resolvendo a equação diferencial para
:
Integrando ambos os lados:
Exponentiando:
Onde
é a velocidade inicial na direção
.
Passo 5
Agora, vamos integrar a velocidade para encontrar a posição
:
A integral de
é
, então:
Passo 6
Agora, vamos para a direção vertical. As forças atuando são a resistência do ar e a gravidade:
Aplicando a segunda lei de Newton:
Rearranjando:
Passo 7
Essa é uma equação diferencial linear que pode ser resolvida usando um fator integrante. O fator integrante aqui é
. Multiplicando ambos os lados:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Resolvendo para
:
Usando a condição inicial
:
Então,
.
Portanto:
Passo 8
Agora, vamos integrar
para encontrar a posição
:
Isso resulta em:
Considerando que
, a constante
é zero.
Simplificando:
Resposta
Portanto, o vetor posição
da bala de canhão é dado por:
Onde:
-
é o vetor unitário na direção horizontal, -
é o vetor unitário na direção vertical, -
é a massa da bala, -
é a constante de resistência do ar, -
é a aceleração da gravidade.