Uma bala de canhão é disparada da origem do sistema de coordenadas com uma velocidade inicial de módulo v0, em uma direção que faz um ângulo theta com a horizontal. Considere que este corpo está sujeito a força de resistência do ar linear F=-b v, além da força peso. Determine:
O vetor posição r(t) da bala de canhão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma bala de canhão sendo disparada da origem com uma velocidade inicial de módulo v0, formando um ângulo theta com a horizontal. Queremos descobrir o vetor posição r(t) da bala ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos trabalhar com a física de movimentos com resistência do ar, especificamente com resistência linear, além da força da gravidade. Vamos precisar dividir o movimento em componentes horizontal e vertical e resolver as equações do movimento para cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar o movimento em duas direções: horizontal ( x) e vertical ( y). A velocidade inicial pode ser decomposta nessas direções:
v0x = v0 costheta
v0y = v0 sintheta
Isso vai facilitar a análise das forças e movimentos em cada direção.

Passo 3

Vamos analisar a direção horizontal. A única força atuando horizontalmente é a resistência do ar, que é proporcional e oposta à velocidade:
Fx = -b vx
De acordo com a segunda lei de Newton, F = m a, temos:
m dvxdt = -b vx
Isso resulta em uma equação diferencial:
dvxdt = -bm vx

Passo 4

Resolvendo a equação diferencial para vx:
dvxvx = -bm dt
Integrando ambos os lados:
ln vx = -bm t + C
Exponentiando:
vx(t) = v0x e^-bm t
Onde v0x = v0 costheta é a velocidade inicial na direção x.

Passo 5

Agora, vamos integrar a velocidade para encontrar a posição x(t):
x(t) = integral vx(t) dt = integral v0 costheta , e^-bm t dt
A integral de e^-kt é -1k e^-kt, então:
x(t) = m v0 costhetab (1 - e^-bm t)

Passo 6

Agora, vamos para a direção vertical. As forças atuando são a resistência do ar e a gravidade:
Fy = -b vy - m g
Aplicando a segunda lei de Newton:
m dvydt = -b vy - m g
Rearranjando:
dvydt + bm vy = -g

Passo 7

Essa é uma equação diferencial linear que pode ser resolvida usando um fator integrante. O fator integrante aqui é e^bm t. Multiplicando ambos os lados:
e^bm t dvydt + bm e^bm t vy = -g e^bm t
Isso simplifica para:
ddt ( vy e^bm t ) = -g e^bm t
Integrando ambos os lados:
vy e^bm t = -m gb e^bm t + C
Resolvendo para vy:
vy(t) = -m gb + C e^-bm t
Usando a condição inicial vy(0) = v0 sintheta:
v0 sintheta = -m gb + C
Então, C = v0 sintheta + m gb.
Portanto:
vy(t) = ( v0 sintheta + m gb ) e^-bm t - m gb

Passo 8

Agora, vamos integrar vy(t) para encontrar a posição y(t):
y(t) = integral vy(t) dt = integral ( ( v0 sintheta + m gb ) e^-bm t - m gb ) dt
Isso resulta em:
y(t) = mb ( v0 sintheta + m gb ) (1 - e^-bm t ) - m gb t + C
Considerando que y(0) = 0, a constante C é zero.
Simplificando:
y(t) = m v0 sinthetab (1 - e^-bm t ) - m gb t

Resposta

Portanto, o vetor posição r(t) da bala de canhão é dado por:
r(t) = ( m v0 costhetab (1 - e^-bm t ) ) i + ( m v0 sinthetab (1 - e^-bm t ) - m gb t ) j
Onde:
  • i é o vetor unitário na direção horizontal,
  • j é o vetor unitário na direção vertical,
  • m é a massa da bala,
  • b é a constante de resistência do ar,
  • g é a aceleração da gravidade.

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