Uma bala de canhão é disparada da origem do sistema de coordenadas com uma velocidade inicial de módulo v0, em uma direção que faz um ângulo theta com a horizontal. Considere que este corpo está sujeito a força de resistência do ar linear F=-b v, além da força peso. Determine:
O vetor velocidade v(t) da bala de canhão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma bala de canhão que é disparada da origem com uma velocidade inicial de módulo v0 e faz um ângulo theta com a horizontal. Além da força da gravidade, a bala sente a resistência do ar, que é proporcional à velocidade dela. Nosso objetivo aqui é descobrir como a velocidade da bala, representada por v(t), muda ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Física, especificamente de Cinemática e Dinâmica, e resolver algumas equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a velocidade inicial v0 em suas componentes horizontal e vertical. Isso vai facilitar na resolução das equações. A componente horizontal é v0x = v0 costheta e a componente vertical é v0y = v0 sintheta.

Passo 3

Agora, vamos analisar as forças atuando na bala. Na direção horizontal, a única força é a resistência do ar, que age contra a direção do movimento. Na direção vertical, temos duas forças: a força da gravidade, que puxa a bala para baixo, e a resistência do ar. Isso nos dá duas equações de movimento:
Para a direção horizontal:
m dvxdt = -b vx
Para a direção vertical:
m dvydt = -m g - b vy
Aqui, m é a massa da bala, b é o coeficiente de resistência do ar, g é a aceleração da gravidade, e vx e vy são as componentes da velocidade.

Passo 4

Vamos resolver essas equações diferenciais separadamente.
Para vx(t):
A equação é:
dvxdt = -bm vx
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem cuja solução é uma função exponencial:
vx(t) = v0x e^-bm t = v0 costheta , e^-bm t
Para vy(t):
A equação é:
dvydt = -g - bm vy
Essa também é uma equação diferencial de primeira ordem. A solução geral é:
vy(t) = (v0y + m gb) e^-bm t - m gb = v0 sintheta , e^-bm t - m gb(1 - e^-bm t)

Resposta

Portanto, o vetor velocidade da bala de canhão ao longo do tempo é dado por:
v(t) = [v0 costheta , e^-bm t], i + [v0 sintheta , e^-bm t - m gb(1 - e^-bm t)], j

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