Uma bala de canhão é disparada da origem do sistema de coordenadas com uma velocidade inicial de módulo
, em uma direção que faz um ângulo
com a horizontal. Considere que este corpo está sujeito a força de resistência do ar linear
, além da força peso. Determine:
O vetor velocidade
da bala de canhão.
O vetor velocidade
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma bala de canhão que é disparada da origem com uma velocidade inicial de módulo
e faz um ângulo
com a horizontal. Além da força da gravidade, a bala sente a resistência do ar, que é proporcional à velocidade dela. Nosso objetivo aqui é descobrir como a velocidade da bala, representada por
, muda ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Física, especificamente de Cinemática e Dinâmica, e resolver algumas equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a velocidade inicial
em suas componentes horizontal e vertical. Isso vai facilitar na resolução das equações. A componente horizontal é
e a componente vertical é
.
Passo 3
Agora, vamos analisar as forças atuando na bala. Na direção horizontal, a única força é a resistência do ar, que age contra a direção do movimento. Na direção vertical, temos duas forças: a força da gravidade, que puxa a bala para baixo, e a resistência do ar. Isso nos dá duas equações de movimento:
Para a direção horizontal:
Para a direção vertical:
Aqui,
é a massa da bala,
é o coeficiente de resistência do ar,
é a aceleração da gravidade, e
e
são as componentes da velocidade.
Passo 4
Vamos resolver essas equações diferenciais separadamente.
Para
:
A equação é:
A equação é:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem cuja solução é uma função exponencial:
Para
:
A equação é:
A equação é:
Essa também é uma equação diferencial de primeira ordem. A solução geral é:
Resposta
Portanto, o vetor velocidade da bala de canhão ao longo do tempo é dado por: