Uma bala de canhão é disparada da origem do sistema de coordenadas com uma velocidade inicial de módulo
, em uma direção que faz um ângulo
com a horizontal. Considere que este corpo está sujeito a força de resistência do ar linear
, além da força peso. Determine:
A equação da trajetória
na presença de resistência do ar.
A equação da trajetória
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma bala de canhão disparada da origem com uma velocidade inicial de módulo
, fazendo um ângulo
com a horizontal. Além da gravidade, a bala sente uma resistência do ar que é proporcional à velocidade, dada por
. Nosso objetivo é encontrar a equação da trajetória
considerando essa resistência do ar. Para isso, vamos precisar usar conceitos de física sobre movimento com forças resistivas e resolver algumas equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos separar o movimento da bala nas direções horizontal (
) e vertical (
). Sabemos que a força de resistência do ar age contra a direção do movimento, então podemos escrever as equações de movimento para cada direção.
Passo 3
Na direção horizontal, a única força atuando é a resistência do ar, então a equação de movimento fica:
Onde:
-
é a massa da bala, -
é a velocidade horizontal, -
é o coeficiente de resistência do ar.
Passo 4
Já na direção vertical, temos a resistência do ar e a força da gravidade. A equação de movimento fica:
Onde:
-
é a aceleração da gravidade, -
é a velocidade vertical.
Passo 5
Vamos resolver primeiro a equação na direção horizontal. A equação diferencial é:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução geral é:
Onde
é a velocidade inicial na direção horizontal.
Passo 6
Integrando
em relação ao tempo, obtemos a posição
:
Passo 7
Agora, vamos resolver a equação na direção vertical. A equação diferencial é:
Essa também é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral é:
Onde
é a velocidade inicial na direção vertical.
Passo 8
Integrando
em relação ao tempo, obtemos a posição
:
Passo 9
Agora, precisamos eliminar o tempo
para obter a relação
. Vamos resolver a equação de
para
:
Passo 10
Substituindo
na expressão de
, teremos uma relação entre
e
:
Simplificando:
Resposta
A equação da trajetória
na presença de resistência do ar é: