Uma bala de canhão é disparada da origem do sistema de coordenadas com uma velocidade inicial de módulo v0, em uma direção que faz um ângulo theta com a horizontal. Considere que este corpo está sujeito a força de resistência do ar linear F=-b v, além da força peso. Determine:
A equação da trajetória y(x) na presença de resistência do ar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma bala de canhão disparada da origem com uma velocidade inicial de módulo v0, fazendo um ângulo theta com a horizontal. Além da gravidade, a bala sente uma resistência do ar que é proporcional à velocidade, dada por F = -b v. Nosso objetivo é encontrar a equação da trajetória y(x) considerando essa resistência do ar. Para isso, vamos precisar usar conceitos de física sobre movimento com forças resistivas e resolver algumas equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos separar o movimento da bala nas direções horizontal ( x) e vertical ( y). Sabemos que a força de resistência do ar age contra a direção do movimento, então podemos escrever as equações de movimento para cada direção.

Passo 3

Na direção horizontal, a única força atuando é a resistência do ar, então a equação de movimento fica:
m dvxdt = -b vx
Onde:
  • m é a massa da bala,
  • vx é a velocidade horizontal,
  • b é o coeficiente de resistência do ar.

Passo 4

Já na direção vertical, temos a resistência do ar e a força da gravidade. A equação de movimento fica:
m dvydt = -m g - b vy
Onde:
  • g é a aceleração da gravidade,
  • vy é a velocidade vertical.

Passo 5

Vamos resolver primeiro a equação na direção horizontal. A equação diferencial é:
dvxdt = -bm vx
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução geral é:
vx(t) = v0x e^-bm t
Onde v0x = v0 costheta é a velocidade inicial na direção horizontal.

Passo 6

Integrando vx(t) em relação ao tempo, obtemos a posição x(t):
x(t) = integral vx(t) dt = m v0xb (1 - e^-bm t)

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação na direção vertical. A equação diferencial é:
dvydt = -g - bm vy
Essa também é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral é:
vy(t) = (v0y + m gb) e^-bm t - m gb
Onde v0y = v0 sintheta é a velocidade inicial na direção vertical.

Passo 8

Integrando vy(t) em relação ao tempo, obtemos a posição y(t):
y(t) = integral vy(t) dt = (v0y + m gb) mb (1 - e^-bm t) - m gb t

Passo 9

Agora, precisamos eliminar o tempo t para obter a relação y(x). Vamos resolver a equação de x(t) para t:
x(t) = m v0xb (1 - e^-bm t) Rightarrow e^-bm t = 1 - b xm v0x
t = -mb ln(1 - b xm v0x)

Passo 10

Substituindo t na expressão de y(t), teremos uma relação entre y e x:
y(x) = (v0y + m gb) mb (1 - b xm v0x) - m gb (-mb ln(1 - b xm v0x))
Simplificando:
y(x) = (m v0yb + m^2 gb^2) (1 - b xm v0x) + m^2 gb^2 ln(1 - b xm v0x)

Resposta

A equação da trajetória y(x) na presença de resistência do ar é:
y(x) = (m v0 sinthetab + m^2 gb^2) (1 - b xm v0 costheta) + m^2 gb^2 ln(1 - b xm v0 costheta)

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