Uma bala é lançada verticalmente para cima a 4 m do solo e leva 2 s para atingir a altura máxima. Considere o eixo
orientado verticalmente para cima e a origem no solo. Determine:
d) quanto tempo depois do lançamento a bala atinge o solo.
d) quanto tempo depois do lançamento a bala atinge o solo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma bala que foi lançada para cima a 4 metros do chão e levou 2 segundos para alcançar a altura máxima. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo depois do lançamento essa bala vai voltar e atingir o solo. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos. Vamos precisar das equações do movimento uniformemente acelerado, considerando a aceleração da gravidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade inicial com que a bala foi lançada. Sabemos que no ponto mais alto do trajeto, a velocidade da bala é zero porque ela para momentaneamente antes de começar a cair. Podemos usar a seguinte equação da cinemática:
Aqui:
-
é a velocidade final (que é 0 no ponto mais alto), -
é a velocidade inicial (o que queremos encontrar), -
é a aceleração (que, para cima, a aceleração da gravidade é negativa: ), -
é o tempo (2 segundos).
Passo 3
Substituindo os valores na equação:
Agora, resolvendo para
:
Então, a velocidade inicial da bala é de 19,6 metros por segundo para cima.
Passo 4
Agora que temos a velocidade inicial, vamos determinar o tempo total que a bala leva para voltar ao solo. Para isso, usamos a equação da posição:
Onde:
-
é a posição no tempo , -
é a posição inicial (4 metros), -
é a velocidade inicial (19,6 m/s), -
é a aceleração ( ), -
é o tempo.
Queremos saber quando a bala atinge o solo, ou seja, quando
.
Passo 5
Substituindo os valores na equação:
Simplificando:
Organizando os termos:
Multiplicando todos os termos por
para facilitar:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:
-
, -
, -
.
Calculando o discriminante (
):
Agora, calculando as raízes:
Então:
A outra raiz será negativa, o que não faz sentido no contexto, então descartamos.
Resposta
A bala atinge o solo aproximadamente 4,2 segundos após o lançamento.