Uma bala é lançada verticalmente para cima a 4 m do solo e leva 2 s para atingir a altura máxima. Considere o eixo x orientado verticalmente para cima e a origem no solo. Determine:
d) quanto tempo depois do lançamento a bala atinge o solo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma bala que foi lançada para cima a 4 metros do chão e levou 2 segundos para alcançar a altura máxima. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo depois do lançamento essa bala vai voltar e atingir o solo. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos. Vamos precisar das equações do movimento uniformemente acelerado, considerando a aceleração da gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade inicial com que a bala foi lançada. Sabemos que no ponto mais alto do trajeto, a velocidade da bala é zero porque ela para momentaneamente antes de começar a cair. Podemos usar a seguinte equação da cinemática:
v = v0 + a cdot t
Aqui:
  • é a velocidade final (que é 0 no ponto mais alto),
  • é a velocidade inicial (o que queremos encontrar),
  • é a aceleração (que, para cima, a aceleração da gravidade é negativa: ²),
  • é o tempo (2 segundos).

Passo 3

Substituindo os valores na equação:
0 = v0 + (-9,8) cdot 2
0 = v0 - 19,6
Agora, resolvendo para v0 = 19,6 , m/s :
Então, a velocidade inicial da bala é de 19,6 metros por segundo para cima.

Passo 4

Agora que temos a velocidade inicial, vamos determinar o tempo total que a bala leva para voltar ao solo. Para isso, usamos a equação da posição:
x(t) = x0 + v0 cdot t + 12 cdot a cdot t² ²
Onde:
  • é a posição no tempo ,
  • é a posição inicial (4 metros),
  • é a velocidade inicial (19,6 m/s),
  • é a aceleração ( ²),
  • é o tempo.
Queremos saber quando a bala atinge o solo, ou seja, quando .

Passo 5

Substituindo os valores na equação:
0 = 4 + 19,6 cdot t + 12 cdot (-9,8) cdot t² ²
Simplificando:
0 = 4 + 19,6t - 4,9t² ²
Organizando os termos:
-4,9t² + 19,6t + 4 = 0 ²
Multiplicando todos os termos por 4,9t² - 19,6t - 4 = 0 para facilitar:
²

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb² - 4ac2a ²
Onde:
  • De,
  • t = 19,6 pm raiz462,569,8 ,
  • raiz462,56 approx 21,51 .
Calculando o discriminante ( t = 19,6 + 21,519,8 approx 41,119,8 approx 4,19 , segundos ):
Agora, calculando as raízes:
Então:
A outra raiz será negativa, o que não faz sentido no contexto, então descartamos.

Resposta

A bala atinge o solo aproximadamente 4,2 segundos após o lançamento.

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