Um balão esférico é enchido de modo que o seu volume aumenta à razão de 4 pi cm^3 / s. Com que taxa aumenta o raio do balão no instante em que este mede 1/2 cm ?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um balão esférico que está enchendo, e sabemos que o volume dele está aumentando a uma taxa de . Nosso objetivo aqui é descobrir quão rápido o raio do balão está crescendo naquele exato momento em que o raio mede . Vamos usar um pouco de cálculo, especificamente o conceito de taxas relacionadas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembra que o volume de uma esfera é calculado pela fórmula:
Onde é o raio da esfera. Como queremos saber como o raio está mudando com o tempo ( ), precisamos relacionar essa fórmula ao tempo.

Passo 3

Vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo . Usando a regra da cadeia, temos:
Aqui, é a taxa de variação do volume e é a taxa de variação do raio que queremos encontrar.

Passo 4

Sabemos que e queremos encontrar quando . Vamos substituir esses valores na equação que encontramos:

Passo 5

Agora, para isolar , dividimos ambos os lados da equação por :

Resposta

O raio do balão está aumentando a uma taxa de quando o raio mede .

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