Um balão esférico é enchido de modo que o seu volume aumenta à razão de
. Com que taxa aumenta o raio do balão no instante em que este mede
?
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um balão esférico que está enchendo, e sabemos que o volume dele está aumentando a uma taxa de
. Nosso objetivo aqui é descobrir quão rápido o raio do balão está crescendo naquele exato momento em que o raio mede
. Vamos usar um pouco de cálculo, especificamente o conceito de taxas relacionadas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, lembra que o volume
de uma esfera é calculado pela fórmula:
Onde
é o raio da esfera. Como queremos saber como o raio está mudando com o tempo (
), precisamos relacionar essa fórmula ao tempo.
Passo 3
Vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo
. Usando a regra da cadeia, temos:
Aqui,
é a taxa de variação do volume e
é a taxa de variação do raio que queremos encontrar.
Passo 4
Sabemos que
e queremos encontrar
quando
. Vamos substituir esses valores na equação que encontramos:
Passo 5
Agora, para isolar
, dividimos ambos os lados da equação por
:
Resposta
O raio do balão está aumentando a uma taxa de
quando o raio mede
.