Esboce o graficot de uma funçio com as segumtes propriedades:
Ponto de inflexão em
Passo 1
Vamos resolver um exercício onde precisamos esboçar o gráfico de uma função
com certas propriedades dadas. O conteúdo envolve funções, derivadas primeiras e segundas, e análise de crescimento, concavidade e pontos críticos. Para resolver, precisamos entender como a derivada primeira indica onde a função está crescendo ou decrescendo e como a derivada segunda mostra a concavidade da função. Além disso, vamos usar os pontos fornecidos para posicionar a função no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos específicos que a função passa:
-
: A função passa pela origem. -
: O ponto (-1, 7) está no gráfico. -
: O ponto (2, -20) também está no gráfico.
Passo 3
Agora, vamos analisar onde a função tem máximos e mínimos locais usando a derivada primeira:
-
e : Esses são pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos. -
em e : A função está crescendo nesses intervalos. -
em : A função está decrescendo nesse intervalo.
Isso indica que em
a função muda de crescente para decrescente, indicando um máximo local. Em
, a função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo local.
Passo 4
Vamos analisar a concavidade da função usando a derivada segunda:
-
em : A função é côncava para cima nesse intervalo. -
em : A função é côncava para baixo nesse intervalo.
Além disso, temos um ponto de inflexão em
, onde a concavidade muda.
Passo 5
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- A função passa pelos pontos (0, 0), (-1, 7) e (2, -20).
- Tem um máximo local em (-1, 7) e um mínimo local em (2, -20).
- A concavidade muda de para baixo para para cima no ponto de inflexão
. - A função cresce antes de
e depois de , e decresce entre esses pontos.
Resposta
O esboço do gráfico de
apresenta um máximo local em (-1, 7), um mínimo local em (2, -20), e um ponto de inflexão em
. A função é crescente em
e
, decrescente em
, côncava para baixo em
e côncava para cima em
. Com esses elementos, o gráfico pode ser desenhado refletindo essas características.
Exercícios relacionados
No projeto de aviões, uma característica importante é o chamado
Um balão esférico é enchido de modo que o seu volume aumenta à razão de
. Com que taxa aumenta o raio do balão no instante em que este mede
?
A expressão do montante duplamente decrescente, uma grandeza usada em contabilidade, é
onde
é o valor após
anos de um artigo que originalmente custou
reais e Lé uma constante conhecida como a) Uma geladeira custou R
tem vida útil de 8 anos. Qual é o seu valor após 5 anos? Qual é a taxa anual de depreciação?
b) No caso, qual a taxa de variação percentual de ?
b) No caso, qual a taxa de variação percentual de
Determinar
por derivação implícita