Esboce o graficot de uma funçio com as segumtes propriedades:
Ponto de inflexão em

Passo 1

Vamos resolver um exercício onde precisamos esboçar o gráfico de uma função com certas propriedades dadas. O conteúdo envolve funções, derivadas primeiras e segundas, e análise de crescimento, concavidade e pontos críticos. Para resolver, precisamos entender como a derivada primeira indica onde a função está crescendo ou decrescendo e como a derivada segunda mostra a concavidade da função. Além disso, vamos usar os pontos fornecidos para posicionar a função no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos específicos que a função passa:
  • : A função passa pela origem.
  • : O ponto (-1, 7) está no gráfico.
  • : O ponto (2, -20) também está no gráfico.

Passo 3

Agora, vamos analisar onde a função tem máximos e mínimos locais usando a derivada primeira:
  • e : Esses são pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos.
  • em e : A função está crescendo nesses intervalos.
  • em : A função está decrescendo nesse intervalo.
Isso indica que em a função muda de crescente para decrescente, indicando um máximo local. Em , a função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo local.

Passo 4

Vamos analisar a concavidade da função usando a derivada segunda:
  • em : A função é côncava para cima nesse intervalo.
  • em : A função é côncava para baixo nesse intervalo.
Além disso, temos um ponto de inflexão em , onde a concavidade muda.

Passo 5

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • A função passa pelos pontos (0, 0), (-1, 7) e (2, -20).
  • Tem um máximo local em (-1, 7) e um mínimo local em (2, -20).
  • A concavidade muda de para baixo para para cima no ponto de inflexão .
  • A função cresce antes de e depois de , e decresce entre esses pontos.

Resposta

O esboço do gráfico de apresenta um máximo local em (-1, 7), um mínimo local em (2, -20), e um ponto de inflexão em . A função é crescente em e , decrescente em , côncava para baixo em e côncava para cima em . Com esses elementos, o gráfico pode ser desenhado refletindo essas características.

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