Considere a função f(x) = { (x-a)/(x+1), se x < -2; a*x² + b*x, se x ≥ -2 }.
Determine os valores de a e b para que f(x) seja contínua e derivável em x = -2.

Passo 1

Vamos lá! Temos uma função definida por partes:
Queremos encontrar os valores de e para que essa função seja contínua e diferenciável em . Isso significa que, em , a função não deve ter “saltos” (continuidade) e deve ter uma inclinação suave sem “quebras” (derivabilidade).
Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Garantir que os limites da função pela esquerda e pela direita em sejam iguais (continuidade).
  2. Garantir que as derivadas pela esquerda e pela direita em também sejam iguais (derivabilidade).

Passo 2

Primeiro, vamos garantir a continuidade em . Isso significa que o limite da função quando se aproxima de -2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima pela direita e ao próprio valor da função em .
Calculando o limite pela esquerda ( ):
Calculando o limite pela direita ( ):
Para continuidade, esses dois limites devem ser iguais:
çã

Passo 3

Agora, vamos garantir a derivabilidade em . Para isso, precisamos que as derivadas pela esquerda e pela direita em sejam iguais.
Primeiro, vamos derivar cada parte da função.
Para :
Usando a regra do quociente, a derivada é:
Portanto, o limite da derivada pela esquerda em é:
Para :
A derivada é:
Então, o limite da derivada pela direita em é:
Para derivabilidade, igualamos as duas derivadas:
çã

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. (Equação 1)
  2. (Equação 2)
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou da combinação. Vou usar a combinação.
Primeiro, vamos multiplicar a Equação 2 por 2 para facilitar a eliminação de :
çã
Agora, temos:
  1. (Equação 1)
  2. (Equação 3)
Subtraindo a Equação 1 da Equação 3:
Agora, substituímos o valor de em uma das equações para encontrar . Vamos usar a Equação 2:

Resposta

Os valores que garantem a continuidade e derivabilidade da função em são:

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