Considere a função
.
Determine os valores de
e
para que
seja contínua e derivável em
.
Determine os valores de
Passo 1
Vamos lá! Temos uma função definida por partes:
Queremos encontrar os valores de
e
para que essa função seja contínua e diferenciável em
. Isso significa que, em
, a função não deve ter “saltos” (continuidade) e deve ter uma inclinação suave sem “quebras” (derivabilidade).
Para resolver isso, vamos precisar:
- Garantir que os limites da função pela esquerda e pela direita em
sejam iguais (continuidade). - Garantir que as derivadas pela esquerda e pela direita em
também sejam iguais (derivabilidade).
Passo 2
Primeiro, vamos garantir a continuidade em
. Isso significa que o limite da função quando
se aproxima de -2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima pela direita e ao próprio valor da função em
.
Calculando o limite pela esquerda (
):
Calculando o limite pela direita (
):
Para continuidade, esses dois limites devem ser iguais:
Passo 3
Agora, vamos garantir a derivabilidade em
. Para isso, precisamos que as derivadas pela esquerda e pela direita em
sejam iguais.
Primeiro, vamos derivar cada parte da função.
Para
:
Usando a regra do quociente, a derivada é:
Portanto, o limite da derivada pela esquerda em
é:
Para
:
A derivada é:
Então, o limite da derivada pela direita em
é:
Para derivabilidade, igualamos as duas derivadas:
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
-
(Equação 1) -
(Equação 2)
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou da combinação. Vou usar a combinação.
Primeiro, vamos multiplicar a Equação 2 por 2 para facilitar a eliminação de
:
Agora, temos:
-
(Equação 1) -
(Equação 3)
Subtraindo a Equação 1 da Equação 3:
Agora, substituímos o valor de
em uma das equações para encontrar
. Vamos usar a Equação 2:
Resposta
Os valores que garantem a continuidade e derivabilidade da função em
são:
Exercícios relacionados
Associe cada função a sua derivada primeira.
(A1)
(B1)
(A2)
(B2)
(A3)
(B3)
(A4)
(B4)
(A1)
(B1)
(A2)
(B2)
(A3)
(B3)
(A4)
(B4)
Calcule os limites abaixo.
Um balão esférico é enchido de modo que o seu volume aumenta à razão de
. Com que taxa aumenta o raio do balão no instante em que este mede
?
No projeto de aviões, uma característica importante é o chamado