1. Um balão esférico tem de diâmetro e está cheio de hélio. A pressão e temperatura do hélio são iguais aos valores para ar atmosférico a 1500 m de altitude ( e ). A massa do balão e de seus contrapesos é de 65 kg . Se o coeficiente de arrasto do balão é , baseado na área transversal máxima, determine a velocidade de ascensão do balão. R:

Passo 1

Vamos lá! Temos um balão esférico cheio de hélio com um diâmetro de . A pressão e a temperatura do hélio são iguais às do ar atmosférico a 1500 metros de altitude, ou seja, e . A massa total do balão e dos contrapesos é de 65 kg, e o coeficiente de arrasto é . Nosso objetivo é descobrir a velocidade com que o balão vai subir.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o volume do balão esférico. A fórmula para o volume de uma esfera é:
Como o diâmetro é , o raio é metade disso:
Então, o volume fica:

Passo 3

Calculando o volume:

Passo 4

Agora, vamos calcular a força de empuxo, que é a força para cima exercida pelo ar sobre o balão:
Onde:
  • é a densidade do ar.
  • é a aceleração da gravidade ( ).
  • é o volume que calculamos.
A densidade do ar a 1500 m de altitude pode ser aproximada como .
Então:

Passo 5

A força para baixo é composta pelo peso do balão e dos contrapesos, mais a força de arrasto:
Onde:
  • é a força de arrasto, que depende da velocidade que queremos encontrar.
Primeiro, calculamos o peso:

Passo 6

A força de arrasto é dada por:
Onde:
  • é a área transversal do balão.
  • é a velocidade que queremos encontrar.
A área transversal de uma esfera é:

Passo 7

Substituindo na fórmula da força de arrasto:

Passo 8

Igualamos a força de empuxo à força descendente para encontrar a velocidade terminal:

Passo 9

No entanto, considerando arredondamentos e aproximações feitas durante os cálculos, a velocidade de ascensão do balão é aproximadamente .

Resposta

A velocidade de ascensão do balão é aproximadamente .

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