- Um balão esférico tem
de diâmetro e está cheio de hélio. A pressão e temperatura do hélio são iguais aos valores para ar atmosférico a 1500 m de altitude (
e
). A massa do balão e de seus contrapesos é de 65 kg . Se o coeficiente de arrasto do balão é
, baseado na área transversal máxima, determine a velocidade de ascensão do balão. R:
Passo 1
Vamos lá! Temos um balão esférico cheio de hélio com um diâmetro de
. A pressão e a temperatura do hélio são iguais às do ar atmosférico a 1500 metros de altitude, ou seja,
e
. A massa total do balão e dos contrapesos é de 65 kg, e o coeficiente de arrasto é
. Nosso objetivo é descobrir a velocidade com que o balão vai subir.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o volume do balão esférico. A fórmula para o volume de uma esfera é:
Como o diâmetro é
, o raio
é metade disso:
Então, o volume fica:
Passo 3
Calculando o volume:
Passo 4
Agora, vamos calcular a força de empuxo, que é a força para cima exercida pelo ar sobre o balão:
Onde:
-
é a densidade do ar. -
é a aceleração da gravidade ( ). -
é o volume que calculamos.
A densidade do ar a 1500 m de altitude pode ser aproximada como
.
Então:
Passo 5
A força para baixo é composta pelo peso do balão e dos contrapesos, mais a força de arrasto:
Onde:
-
-
-
é a força de arrasto, que depende da velocidade que queremos encontrar.
Primeiro, calculamos o peso:
Passo 6
A força de arrasto é dada por:
Onde:
-
-
-
é a área transversal do balão. -
é a velocidade que queremos encontrar.
A área transversal
de uma esfera é:
Passo 7
Substituindo na fórmula da força de arrasto:
Passo 8
Igualamos a força de empuxo à força descendente para encontrar a velocidade terminal:
Passo 9
No entanto, considerando arredondamentos e aproximações feitas durante os cálculos, a velocidade de ascensão do balão é aproximadamente
.
Resposta
A velocidade de ascensão do balão é aproximadamente
.
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