Um balão de ar quente está subindo verticalmente acima de um ponto A no solo a uma taxa de
. Um carro está se movendo a
em uma estrada reta a
de A. A que taxa a distância entre o carro e o balão está mudando
depois que o balão estiver acima do ponto no solo diretamente acima do carro?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um balão de ar quente que está subindo verticalmente a uma velocidade de
e um carro que está se movendo a
numa estrada reta que fica a
do ponto A no solo. A gente quer descobrir a que taxa a distância entre o carro e o balão está mudando 2 segundos depois que o balão estiver diretamente acima do carro. Para resolver isso, vamos usar o conceito de taxas relacionadas da Matemática, que ajuda a entender como duas grandezas que mudam com o tempo estão relacionadas.
Passo 2
Vamos definir as variáveis para entender melhor a situação:
- Seja $ t $ o tempo em segundos após o balão estar diretamente acima do carro.
- A altura do balão no tempo $ t $ é $ h(t) = 15t $ pés.
- A posição do carro na estrada após o tempo $ t $ é $ x(t) = 40t $ pés.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a situação. O balão está subindo verticalmente, e o carro está se afastando ao longo da estrada. A distância $ D $ entre o balão e o carro forma um triângulo retângulo, onde:
- Um cateto é a distância horizontal que o carro percorreu, $ x(t) $.
- O outro cateto é a altura do balão, $ h(t) $.
Então, usando o Teorema de Pitágoras, temos:
Mas, como o carro está a
da base do balão, a equação fica:
Passo 4
Substituindo $ x(t) $ e $ h(t) $ na equação:
Vamos simplificar isso:
Passo 5
Para encontrar a taxa de variação da distância $ \frac{dD}{dt} $, vamos derivar $ D(t) $ em relação ao tempo $ t $:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos substituir $ t = 2 $ segundos na equação:
Primeiro, calculamos o numerador:
Em seguida, o denominador:
Resposta
Portanto, a taxa com que a distância entre o carro e o balão está mudando após 2 segundos é aproximadamente
.