Um balão de ar quente está subindo verticalmente acima de um ponto A no solo a uma taxa de 15 ft / s. Um carro está se movendo a 40 ft / s em uma estrada reta a 50 ft de A. A que taxa a distância entre o carro e o balão está mudando 2 s depois que o balão estiver acima do ponto no solo diretamente acima do carro?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um balão de ar quente que está subindo verticalmente a uma velocidade de 15 , ft/s e um carro que está se movendo a 40 , ft/s numa estrada reta que fica a 50 , ft do ponto A no solo. A gente quer descobrir a que taxa a distância entre o carro e o balão está mudando 2 segundos depois que o balão estiver diretamente acima do carro. Para resolver isso, vamos usar o conceito de taxas relacionadas da Matemática, que ajuda a entender como duas grandezas que mudam com o tempo estão relacionadas.

Passo 2

Vamos definir as variáveis para entender melhor a situação:
  • Seja $ t $ o tempo em segundos após o balão estar diretamente acima do carro.
  • A altura do balão no tempo $ t $ é $ h(t) = 15t $ pés.
  • A posição do carro na estrada após o tempo $ t $ é $ x(t) = 40t $ pés.

Passo 3

Agora, vamos visualizar a situação. O balão está subindo verticalmente, e o carro está se afastando ao longo da estrada. A distância $ D $ entre o balão e o carro forma um triângulo retângulo, onde:
  • Um cateto é a distância horizontal que o carro percorreu, $ x(t) $.
  • O outro cateto é a altura do balão, $ h(t) $.
Então, usando o Teorema de Pitágoras, temos:
D
Mas, como o carro está a x(t) da base do balão, a equação fica:
h(t)

Passo 4

Substituindo $ x(t) $ e $ h(t) $ na equação:
x(t)
Vamos simplificar isso:
h(t)

Passo 5

Para encontrar a taxa de variação da distância $ \frac{dD}{dt} $, vamos derivar $ D(t) $ em relação ao tempo $ t $:
dDdt
Simplificando:
D(t)

Passo 6

Agora, vamos substituir $ t = 2 $ segundos na equação:
Primeiro, calculamos o numerador:
t = 2
Em seguida, o denominador:
(50 + 40 times 2) times 40 + (15 times 2) times 15 = (50 + 80) times 40 + 30 times 15 = 130 times 40 + 450 = 5200 + 450 = 5650

Resposta

Portanto, a taxa com que a distância entre o carro e o balão está mudando após 2 segundos é aproximadamente 42.3 , ft/s.

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