Uma escada de
está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada deslizar para longe da parede a uma taxa de
, com que rapidez o topo da escada está deslizando para baixo na parede quando a base da escada está a
da parede?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma escada de 10 pés apoiada numa parede vertical. A base da escada está deslizando para longe da parede a uma taxa de
. Queremos descobrir quão rápido o topo da escada está descendo quando a base está a
da parede.
Matéria envolvida: Cálculo, especificamente taxas relacionadas (derivadas relacionadas) e geometria (teorema de Pitágoras).
O que vamos precisar: Relacionar as distâncias da base e do topo da escada à parede usando o teorema de Pitágoras e então derivar em relação ao tempo para encontrar a taxa de variação que queremos.
Passo 2
Vamos desenhar um triângulo retângulo onde:
- A hipotenusa é a escada, cujo comprimento é constante,
. - Um cateto é a distância da base da escada à parede, vamos chamar de
. - O outro cateto é a altura do topo da escada na parede, vamos chamar de
.
Segundo o teorema de Pitágoras:
Passo 3
Queremos encontrar a taxa com que
está mudando quando
. Sabemos que
. Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação ao tempo
:
Isso resulta em:
Passo 4
Vamos resolver para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor de
quando
. Voltando ao teorema de Pitágoras:
Passo 6
Agora, substituímos os valores na equação da taxa:
Resposta
Quando a base da escada está a
da parede, o topo da escada está descendo a uma taxa de
. Ou seja, está descendo a
.