Uma escada de 10 ft está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada deslizar para longe da parede a uma taxa de 1 ft / s, com que rapidez o topo da escada está deslizando para baixo na parede quando a base da escada está a 6 ft da parede?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma escada de 10 pés apoiada numa parede vertical. A base da escada está deslizando para longe da parede a uma taxa de 1 , ft/s. Queremos descobrir quão rápido o topo da escada está descendo quando a base está a 6 , ft da parede.
Matéria envolvida: Cálculo, especificamente taxas relacionadas (derivadas relacionadas) e geometria (teorema de Pitágoras).
O que vamos precisar: Relacionar as distâncias da base e do topo da escada à parede usando o teorema de Pitágoras e então derivar em relação ao tempo para encontrar a taxa de variação que queremos.

Passo 2

Vamos desenhar um triângulo retângulo onde:
  • A hipotenusa é a escada, cujo comprimento é constante, 10 , ft.
  • Um cateto é a distância da base da escada à parede, vamos chamar de x.
  • O outro cateto é a altura do topo da escada na parede, vamos chamar de y.
Segundo o teorema de Pitágoras:
x^2 + y^2 = 10^2

Passo 3

Queremos encontrar a taxa com que y está mudando quando x = 6 , ft. Sabemos que dxdt = 1 , ft/s. Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação ao tempo t:
ddt(x^2) + ddt(y^2) = ddt(100)
Isso resulta em:
2x dxdt + 2y dydt = 0

Passo 4

Vamos resolver para dydt:
2y dydt = -2x dxdt
Dividindo ambos os lados por 2y:
dydt = -xy cdot dxdt

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor de y quando x = 6 , ft. Voltando ao teorema de Pitágoras:
6^2 + y^2 = 100
36 + y^2 = 100
y^2 = 64
y = 8 , ft

Passo 6

Agora, substituímos os valores na equação da taxa:
dydt = -68 cdot 1 = -34 , ft/s

Resposta

Quando a base da escada está a 6 , ft da parede, o topo da escada está descendo a uma taxa de -34 , ft/s. Ou seja, está descendo a 0,75 , ft/s.

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