Um fazendeiro quer cercar um campo retangular de 750.000 m^2. Ele pretende usar mais uma cerca no meio do campo, paralela a dois lados opostos. Qual é o menor comprimento de cerca que ele pode usar?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Um fazendeiro quer cercar um campo retangular com uma área de 750.000 , m²². Além das cercas que delimitam o campo, ele quer colocar mais uma cerca no meio, paralela a dois lados opostos. Nosso objetivo é descobrir qual é o menor comprimento total de cerca que ele pode usar.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização na geometria, onde queremos minimizar o comprimento total da cerca mantendo a área fixa. Vamos precisar usar álgebra básica e derivadas para encontrar o mínimo.

Passo 2

Vamos começar definindo as variáveis. Suponha que:
  • $ x $ seja o comprimento do campo.
  • $ y $ seja a largura do campo.
Então, a área do retângulo é dada por:
x ²

Passo 3

Queremos minimizar o comprimento total da cerca. Vamos calcular esse comprimento.
O campo retangular tem 4 lados, então o perímetro normal seria:
2x + 2y
Mas, além disso, há uma cerca no meio, paralela a dois lados opostos, o que adiciona mais uma cerca com comprimento igual a $ y $.
Portanto, o comprimento total da cerca ($ C $) é:
y

Passo 4

Temos uma relação entre $ x $ e $ y $ através da área:
x
Podemos expressar $ x $ em função de $ y $:
y

Passo 5

Vamos substituir $ x $ na expressão do comprimento total $ C $:
x
Agora, nossa função para minimizar é:
C

Passo 6

Para encontrar o valor de $ y $ que minimiza $ C(y) $, vamos derivar $ C $ em relação a $ y $ e igualar a zero.
Primeiro, derivamos $ C(y) $:
y ²
Igualando a derivada a zero:
C(y) ²
Resolvendo para $ y $:
C ²²²

Passo 7

Agora, encontramos $ y $. Vamos encontrar $ x $ usando a relação da área:
y

Resposta

O menor comprimento total de cerca que o fazendeiro pode usar é aproximadamente $ 4.242,64 , m $.

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