Um fazendeiro quer cercar um campo retangular de
. Ele pretende usar mais uma cerca no meio do campo, paralela a dois lados opostos. Qual é o menor comprimento de cerca que ele pode usar?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Um fazendeiro quer cercar um campo retangular com uma área de
. Além das cercas que delimitam o campo, ele quer colocar mais uma cerca no meio, paralela a dois lados opostos. Nosso objetivo é descobrir qual é o menor comprimento total de cerca que ele pode usar.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização na geometria, onde queremos minimizar o comprimento total da cerca mantendo a área fixa. Vamos precisar usar álgebra básica e derivadas para encontrar o mínimo.
Passo 2
Vamos começar definindo as variáveis. Suponha que:
- $ x $ seja o comprimento do campo.
- $ y $ seja a largura do campo.
Então, a área do retângulo é dada por:
Passo 3
Queremos minimizar o comprimento total da cerca. Vamos calcular esse comprimento.
O campo retangular tem 4 lados, então o perímetro normal seria:
Mas, além disso, há uma cerca no meio, paralela a dois lados opostos, o que adiciona mais uma cerca com comprimento igual a $ y $.
Portanto, o comprimento total da cerca ($ C $) é:
Passo 4
Temos uma relação entre $ x $ e $ y $ através da área:
Podemos expressar $ x $ em função de $ y $:
Passo 5
Vamos substituir $ x $ na expressão do comprimento total $ C $:
Agora, nossa função para minimizar é:
Passo 6
Para encontrar o valor de $ y $ que minimiza $ C(y) $, vamos derivar $ C $ em relação a $ y $ e igualar a zero.
Primeiro, derivamos $ C(y) $:
Igualando a derivada a zero:
Resolvendo para $ y $:
Passo 7
Agora, encontramos $ y $. Vamos encontrar $ x $ usando a relação da área:
Resposta
O menor comprimento total de cerca que o fazendeiro pode usar é aproximadamente $ 4.242,64 , m $.