Encontre o limite, se existir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso está relacionado ao estudo de limites em cálculo, especialmente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador conforme
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que acontece com o numerador quando
se aproxima de
:
Então, o numerador tende a
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador nessa mesma situação:
O denominador também tende a
. Então, estamos com uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos de outra estratégia para encontrar o limite.
Passo 4
Quando encontramos uma forma indeterminada
, uma ferramenta muito útil é a Regra de L’Hospital. Essa regra diz que, se
resulta em
ou
, então podemos calcular:
desde que esse novo limite exista.
Passo 5
Vamos aplicar a Regra de L’Hospital derivando o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Passo 6
Substituindo as derivadas na Regra de L’Hospital, temos:
Passo 7
Agora, vamos calcular esse novo limite:
Então:
Resposta
O limite é
.