Encontre o limite, se existir.
lim x pi / 2 1-sen xcos x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o limite da função 1 - sin xcos x quando x se aproxima de pi2. Isso está relacionado ao estudo de limites em cálculo, especialmente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador conforme x se aproxima de pi2.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece com o numerador quando x se aproxima de pi2:
1 - sin(pi2) = 1 - 1 = 0
Então, o numerador tende a 0.

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador nessa mesma situação:
cos(pi2) = 0
O denominador também tende a 0. Então, estamos com uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos de outra estratégia para encontrar o limite.

Passo 4

Quando encontramos uma forma indeterminada 00, uma ferramenta muito útil é a Regra de L’Hospital. Essa regra diz que, se limx to a f(x)g(x) resulta em 00 ou inftyinfty, então podemos calcular:
limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x)
desde que esse novo limite exista.

Passo 5

Vamos aplicar a Regra de L’Hospital derivando o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador: f(x) = 1 - sin x
f'(x) = -cos x
  • Derivada do denominador: g(x) = cos x
g'(x) = -sin x

Passo 6

Substituindo as derivadas na Regra de L’Hospital, temos:
limx to pi2 1 - sin xcos x = limx to pi2 -cos x- sin x = limx to pi2 cos xsin x

Passo 7

Agora, vamos calcular esse novo limite:
cos(pi2) = 0 e sin(pi2) = 1
Então:
01 = 0

Resposta

O limite é 0.

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