As bandeiras têm 3 cores diferentes: 12 delas são verdes, 8 azuis e 10 roxas. De quantas maneiras diferentes é possível dispor as bandeiras? Indique a resposta no caderno, se necessário, usando fatorial.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem bandeiras de 3 cores diferentes: 12 verdes, 8 azuis e 10 roxas. O que a gente precisa descobrir é de quantas maneiras diferentes podemos organizar todas essas bandeiras. Para isso, vamos usar o conceito de arranjos com elementos repetidos, que envolve usar fatoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantas bandeiras temos no total. Basta somar as bandeiras de todas as cores:
12 (verdes) + 8 (azuis) + 10 (roxas) = 30 bandeiras no total

Passo 3

Se todas as 30 bandeiras fossem diferentes, a quantidade de arranjos possíveis seria o fatorial de 30, representado por 30!. O fatorial de um número é o produto de todos os inteiros positivos até ele. Por exemplo:
5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120

Passo 4

Mas, no nosso caso, as bandeiras de cada cor são iguais entre si. Isso significa que precisamos ajustar o cálculo para não contar arranjos que são iguais devido às bandeiras repetidas. Para isso, usamos a fórmula de arranjos com elementos repetidos:
N!n1! times n2! times n3!
Onde:
  • N é o total de bandeiras.
  • n1, n2, n3 são as quantidades de cada tipo de bandeira.

Passo 5

Aplicando os valores do nosso exercício:
N = 30, n1 = 12 (verdes), n2 = 8 (azuis), n3 = 10 (roxas)
Substituindo na fórmula:
30!12! times 8! times 10!

Resposta

Portanto, o número de maneiras diferentes de dispor as bandeiras é:
30!12! times 8! times 10!

Exercícios relacionados