As bandeiras têm 3 cores diferentes: 12 delas são verdes, 8 azuis e 10 roxas. De quantas maneiras diferentes é possível dispor as bandeiras? Indique a resposta no caderno, se necessário, usando fatorial.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem bandeiras de 3 cores diferentes: 12 verdes, 8 azuis e 10 roxas. O que a gente precisa descobrir é de quantas maneiras diferentes podemos organizar todas essas bandeiras. Para isso, vamos usar o conceito de arranjos com elementos repetidos, que envolve usar fatoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quantas bandeiras temos no total. Basta somar as bandeiras de todas as cores:
Passo 3
Se todas as 30 bandeiras fossem diferentes, a quantidade de arranjos possíveis seria o fatorial de 30, representado por
. O fatorial de um número é o produto de todos os inteiros positivos até ele. Por exemplo:
Passo 4
Mas, no nosso caso, as bandeiras de cada cor são iguais entre si. Isso significa que precisamos ajustar o cálculo para não contar arranjos que são iguais devido às bandeiras repetidas. Para isso, usamos a fórmula de arranjos com elementos repetidos:
Onde:
-
é o total de bandeiras. -
são as quantidades de cada tipo de bandeira.
Passo 5
Aplicando os valores do nosso exercício:
Substituindo na fórmula:
Resposta
Portanto, o número de maneiras diferentes de dispor as bandeiras é: