De um baralho de pôquer ( 7,8,9,10, valete, dama, rei e ás, cada um desses grupos aparecendo em 4 naipes: copas, outros, paus, espadas), sacam-se simultaneamente 5 cartas. Quantas são as extrações nas quais se forma um par (duas cartas em um mesmo grupo e as outras três em três outros grupos diferentes)?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de combinatória! A gente tem um baralho de pôquer com cartas de 7 até o ás, cada uma com 4 naipes diferentes. A questão pede para descobrir quantas jeitos existem de tirar 5 cartas de forma que a mão tenha um par: ou seja, duas cartas do mesmo grupo e as outras três cada uma de grupos diferentes. Para resolver isso, vamos precisar usar combinações e entender como contar essas possibilidades passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher qual grupo vai formar o par. Como temos 8 grupos (7, 8, 9, 10, Valete, Dama, Rei, Ás), existem 8 opções para esse grupo.

Passo 3

Agora, dentro do grupo escolhido para o par, precisamos selecionar 2 cartas entre os 4 naipes disponíveis. A quantidade de jeitos de fazer isso é dada pela combinação:
binom42 = 6

Passo 4

Em seguida, precisamos escolher 3 grupos diferentes para as outras três cartas, garantindo que não formem mais pares. Temos 7 grupos restantes (já que um foi usado no par) e queremos escolher 3 deles. A quantidade de jeitos de fazer isso é:
binom73 = 35

Passo 5

Para cada um desses 3 grupos escolhidos, precisamos selecionar 1 carta de cada grupo. Cada grupo tem 4 naipes, então para cada grupo temos 4 opções. Como são 3 grupos, multiplicamos:
4 times 4 times 4 = 4^3 = 64

Passo 6

Agora, juntando todas essas etapas, multiplicamos o número de opções de cada passo:
8 (grupos para o par) times 6 (combinacoes do par) times 35 (escolha dos 3 grupos) times 64 (escolha das cartas) = 8 times 6 times 35 times 64

Passo 7

Calculando:
8 times 6 = 48 48 times 35 = 1680 1680 times 64 = 107520

Resposta

Existem 107.520 maneiras de extrair 5 cartas formando exatamente um par.

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