Considere n(n>2) pontos em um plano, entre os quais não há 3 pontos colineares. Qual é o número máximo de pontos de interseção dessas retas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar o número máximo de pontos de interseção entre retas formadas por $ n $ pontos no plano, onde nenhuma três retas passam pelo mesmo ponto (ou seja, não há 3 pontos colineares). A gente vai usar conceitos de combinatória para resolver isso, especialmente combinações.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber quantas retas diferentes podemos formar com $ n $ pontos. Como nenhuma três são colineares, cada par de pontos forma uma reta única. Para calcular isso, usamos a combinação de $ n $ elementos tomados 2 a 2, que é representada por:
n
Então, temos $ \frac{n(n-1)}{2} $ retas.

Passo 3

Agora, queremos saber quantos pontos de interseção essas retas podem ter no máximo. Cada par de retas pode se encontrar em no máximo um ponto. Então, precisamos calcular quantos pares de retas podemos formar a partir das $ \frac{n(n-1)}{2} $ retas que temos.
Isso é novamente uma combinação, dessa vez de $ \frac{n(n-1)}{2} $ elementos tomados 2 a 2:
n(n-1)2
Mas isso fica meio complicado. Existe uma maneira mais simples de ver isso pensando em escolher 4 pontos.

Passo 4

Cada ponto de interseção único é formado pela interseção de duas retas, e cada reta é definida por dois pontos. Para garantir que essas interseções sejam únicas e não tenham três retas se encontrando no mesmo ponto, precisamos escolher 4 pontos distintos para formar duas retas que se cruzam. Assim, o número de interseções é dado por:
C(n, 4) = n(n-1)(n-2)(n-3)24
Esse é o número máximo de pontos de interseção possíveis.

Resposta

O número máximo de pontos de interseção das retas é dado por:
n(n-1)(n-2)(n-3)24

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