De um baralho de pôquer ( 7,8,9,10, valete, dama, rei e ás, cada um desses grupos aparecendo em 4 naipes: copas, outros, paus, espadas), sacam-se simultaneamente 5 cartas. Quantas são as extrações nas quais se forma dois pares (duas cartas em um grupo, duas em outro grupo e uma em um terceiro grupo)?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de combinatória sobre como extrair cartas de um baralho de pôquer para formar dois pares. Isso envolve entender combinações e como multiplicar diferentes possibilidades para chegar ao resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o total de cartas e grupos no baralho. Temos 8 grupos de cartas: 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei e ás. Cada grupo tem 4 cartas, uma para cada naipe: copas, ouros, paus e espadas. Portanto, há 8 times 4 = 32 cartas no total.

Passo 3

Queremos formar dois pares, o que significa:
  • Primeiro par: 2 cartas de um mesmo grupo.
  • Segundo par: 2 cartas de outro grupo diferente.
  • Carta única: 1 carta de um terceiro grupo, diferente dos dois anteriores.

Passo 4

Primeiro, vamos escolher quais serão os dois grupos que vão formar os pares. Como temos 8 grupos, o número de maneiras de escolher 2 grupos é dado pela combinação:
C(8,2) = 8!2!(8-2)! = 28

Passo 5

Para cada um desses grupos escolhidos, precisamos selecionar 2 cartas de 4 disponíveis. A combinação para escolher 2 cartas de um grupo é:
C(4,2) = 4!2!(4-2)! = 6
Como temos dois grupos, multiplicamos essa combinação duas vezes:
C(4,2) times C(4,2) = 6 times 6 = 36

Passo 6

Agora, precisamos escolher a terceira carta que não forma um par. Restaram 8 - 2 = 6 grupos para escolher, e de cada grupo temos 4 cartas. Assim, o número de maneiras de escolher esse grupo e a carta é:
C(6,1) times C(4,1) = 6 times 4 = 24

Passo 7

Finalmente, multiplicamos todas as possibilidades para obter o total de extrações que formam dois pares:
C(8,2) times [C(4,2)]^2 times C(6,1) times C(4,1) = 28 times 36 times 24 = 24.192

Resposta

Existem 24.192 maneiras de extrair 5 cartas formando dois pares no baralho descrito.

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