De quantos modos é possível dividir 20 pessoas em três grupos de 6 e um de 2?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos 20 pessoas e queremos dividir elas em quatro grupos: três grupos com 6 pessoas cada e um grupo com 2 pessoas. Vamos usar a matéria de combinações e permutações para resolver isso. Para resolver, precisamos entender como contar grupos sem se importar com a ordem dentro de cada grupo e entre os grupos.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher as pessoas para o primeiro grupo de 6. Para isso, usamos a combinação, que nos dá o número de maneiras de escolher 6 pessoas entre 20, sem importar a ordem. A fórmula da combinação é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Então, para o primeiro grupo:
C(20, 6) = 20!6! cdot 14!

Passo 3

Agora, restaram 14 pessoas. Vamos escolher o segundo grupo de 6 pessoas entre essas 14. Usamos a mesma fórmula:
C(14, 6) = 14!6! cdot 8!

Passo 4

Ainda restam 8 pessoas. Vamos escolher o terceiro grupo de 6 pessoas entre essas 8:
C(8, 6) = 8!6! cdot 2!

Passo 5

Finalmente, as 2 pessoas restantes formarão o último grupo. Como só temos 2 pessoas, só há uma maneira de formá-lo:
C(2, 2) = 1

Passo 6

Agora, multiplicamos todas essas combinações para achar o total de maneiras de formar os grupos:
C(20, 6) times C(14, 6) times C(8, 6) times 1

Passo 7

Porém, como os três grupos de 6 são indistinguíveis (a ordem deles não importa), precisamos dividir pelo número de arranjos desses 3 grupos, que é 3!. Assim, a fórmula final fica:
C(20, 6) times C(14, 6) times C(8, 6)3!

Resposta

O número de modos possíveis é:
20!6! cdot 14! times 14!6! cdot 8! times 8!6! cdot 2!3! = 20!(6!)^3 cdot 2! cdot 3!

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