De quantos modos é possível dividir 20 pessoas em três grupos de 6 e um de 2?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos 20 pessoas e queremos dividir elas em quatro grupos: três grupos com 6 pessoas cada e um grupo com 2 pessoas. Vamos usar a matéria de combinações e permutações para resolver isso. Para resolver, precisamos entender como contar grupos sem se importar com a ordem dentro de cada grupo e entre os grupos.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher as pessoas para o primeiro grupo de 6. Para isso, usamos a combinação, que nos dá o número de maneiras de escolher 6 pessoas entre 20, sem importar a ordem. A fórmula da combinação é:
Então, para o primeiro grupo:
Passo 3
Agora, restaram 14 pessoas. Vamos escolher o segundo grupo de 6 pessoas entre essas 14. Usamos a mesma fórmula:
Passo 4
Ainda restam 8 pessoas. Vamos escolher o terceiro grupo de 6 pessoas entre essas 8:
Passo 5
Finalmente, as 2 pessoas restantes formarão o último grupo. Como só temos 2 pessoas, só há uma maneira de formá-lo:
Passo 6
Agora, multiplicamos todas essas combinações para achar o total de maneiras de formar os grupos:
Passo 7
Porém, como os três grupos de 6 são indistinguíveis (a ordem deles não importa), precisamos dividir pelo número de arranjos desses 3 grupos, que é
. Assim, a fórmula final fica:
Resposta
O número de modos possíveis é: