De um baralho de pôquer ( 7,8,9,10, valete, dama, rei e ás, cada um desses grupos aparecendo em 4 naipes: copas, outros, paus, espadas), sacam-se simultaneamente 5 cartas. Quantas são as extrações possíveis?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um baralho de pôquer que inclui as cartas 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei e ás, cada uma dessas tem 4 naipes: copas, ouros, paus e espadas. No total, são 32 cartas. A pergunta é: de quantas maneiras diferentes podemos sacar 5 cartas simultaneamente desse baralho? Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinações, que é uma forma de contar as possibilidades sem levar em conta a ordem das cartas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar a fórmula das combinações. Quando queremos saber de quantas maneiras podemos escolher um grupo de $ k $ elementos a partir de um conjunto de $ n $ elementos, a fórmula é:
k
Aqui, $ n! $ (n fatorial) significa que multiplicamos todos os números de 1 até $ n $.

Passo 3

No nosso caso, temos $ n = 32 $ cartas no baralho e queremos escolher $ k = 5 $ cartas. Vamos substituir esses valores na fórmula:
n = 32

Passo 4

Agora, para simplificar o cálculo, vamos expandir o fatorial apenas até onde precisamos. Sabemos que:
32! = 32 times 31 times 30 times 29 times 28 times 27!
Então, podemos reescrever a combinação assim:
C(32, 5) = 32 times 31 times 30 times 29 times 28 times 27!5! times 27! = 32 times 31 times 30 times 29 times 285!
Os $ 27! $ cancelam.

Passo 5

Agora, vamos calcular $ 5! $:
5!
Então, a expressão fica:
5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120

Passo 6

Vamos calcular o numerador:
32 times 31 = 992 992 times 30 = 29,760 29,760 times 29 = 863,040 863,040 times 28 = 24,165,120
Então, temos:
C(32, 5) = 24,165,120120

Passo 7

Agora, dividimos:
24,165,120120 = 201,376

Resposta

Existem 201.376 maneiras diferentes de sacar 5 cartas simultaneamente desse baralho de 32 cartas.

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