Um barco se aproxima da costa a 50 m / s. Um menino está no alto de uma falésia com 19 , 0 m de altura e lança uma bola de 750 g com velocidade de 10 m / s. O lançamento é feito de forma que a velocidade inicial da bola forma um ângulo de 30^circ com a vertical em direção ao barco. Despreze a resistência do ar.
(b) Quanto tempo leva desde o lançamento da bola até que ela caia no barco?

Passo 1

Vamos resolver um problema de movimento de projéteis! 🎯 Temos um barco se aproximando da costa a uma velocidade de 50, m/s. Um menino no alto de uma falésia de 19,0, m lança uma bola com massa de 750, g e velocidade de 10, m/s, formando um ângulo de 30^circ com a vertical em direção ao barco. Queremos descobrir quanto tempo leva desde o lançamento até a bola cair no barco. Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento vertical e horizontal, considerando que desprezamos a resistência do ar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial da bola nos eixos horizontal e vertical. Como o ângulo é de 30^circ com a vertical, podemos usar trigonometria para encontrar as componentes:
  • Componente vertical ( vy0):
    vy0 = v0 cos(theta) = 10, m/s times cos(30^circ)
  • Componente horizontal ( vx0):
    vx0 = v0 sin(theta) = 10, m/s times sin(30^circ)

Passo 3

Vamos calcular essas componentes:
  • cos(30^circ) = raiz32 approx 0,866
  • sin(30^circ) = 0,5
Portanto:
  • vy0 = 10, m/s times 0,866 approx 8,66, m/s
  • vx0 = 10, m/s times 0,5 = 5, m/s

Passo 4

Agora, analisamos o movimento vertical para encontrar o tempo que a bola leva para descer de 19,0, m até o barco. Usamos a equação do movimento vertical:
y = y0 + vy0 t - 12 g t^2
Onde:
  • y é a posição final (no caso, 0, m, já que a bola está caindo até o nível do barco),
  • y0 = 19,0, m,
  • g = 9,8, m/s^2 (aceleração da gravidade).
Substituindo os valores:
0 = 19,0 + 8,66, t - 4,9, t^2

Passo 5

Resolvemos essa equação quadrática para encontrar o tempo t. Reorganizando:
4,9, t^2 - 8,66, t - 19,0 = 0
Usamos a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde:
  • a = 4,9,
  • b = -8,66,
  • c = -19,0.
Calculando o discriminante ( De):
De
De

Passo 6

Calculamos as raízes:
t = 8,66 pm raiz447,49,8
raiz447,4 approx 21,15
Então:
t = 8,66 + 21,159,8 approx 29,819,8 approx 3,04, s
Desconsideramos a solução negativa, pois o tempo não pode ser negativo.

Passo 7

Agora, verificamos se o barco percorre a distância necessária nesse tempo. Como o barco está se movendo a 50, m/s, em 3,04, s ele percorre:
d = v times t = 50, m/s times 3,04, s = 152,0, m
Isso significa que a bola e o barco se encontram após aproximadamente 3,04, s.

Resposta

O tempo que leva desde o lançamento da bola até que ela caia no barco é de aproximadamente 3,04, s.

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