Mostre que a diferença de energia entre um nível rotacional da molécula de HBr é diretamente proporcional ao quadrado dos números quânticos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a diferença de energia entre os níveis rotacionais da molécula de HBr é diretamente proporcional ao quadrado dos números quânticos. Vamos trabalhar com a física molecular, especificamente com a rotação de moléculas diatômicas como a HBr. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular os níveis de energia rotacional usando números quânticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber qual é a expressão para a energia de um nível rotacional de uma molécula diatômica. A fórmula que usamos é:
EJ = hbar^22I J(J + 1)
Aqui, é a energia do nível rotacional, é a constante de Planck reduzida, é o momento de inércia da molécula, e é o número quântico rotacional.

Passo 3

Agora, para encontrar a diferença de energia entre dois níveis consecutivos, ou seja, entre EJ+1 = hbar^22I (J + 1)(J + 2) e De, vamos calcular . Substituindo na fórmula:
Então,

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro dos colchetes:
(J + 1)(J + 2) - J(J + 1) = J^2 + 3J + 2 - J^2 - J = 2J + 2
Então,
De

Passo 5

Observamos que a diferença de energia De depende linearmente de . Mas queremos mostrar que isso é proporcional ao quadrado dos números quânticos. Se considerarmos que é grande, é aproximadamente proporcional a , então:
No entanto, lembrando que a energia total é proporcional a , que para valores grandes de é aproximadamente . Assim, a diferença de energia também se relaciona com .

Resposta

Assim, mostramos que a diferença de energia entre os níveis rotacionais da molécula de HBr é diretamente proporcional ao quadrado dos números quânticos .

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