Mostre que a diferença de energia entre um nível rotacional da molécula de HBr é diretamente proporcional ao quadrado dos números quânticos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a diferença de energia entre os níveis rotacionais da molécula de HBr é diretamente proporcional ao quadrado dos números quânticos. Vamos trabalhar com a física molecular, especificamente com a rotação de moléculas diatômicas como a HBr. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular os níveis de energia rotacional usando números quânticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber qual é a expressão para a energia de um nível rotacional de uma molécula diatômica. A fórmula que usamos é:
Aqui,
é a energia do nível rotacional,
é a constante de Planck reduzida,
é o momento de inércia da molécula, e
é o número quântico rotacional.
Passo 3
Agora, para encontrar a diferença de energia entre dois níveis consecutivos, ou seja, entre
e
, vamos calcular
. Substituindo na fórmula:
Então,
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro dos colchetes:
Então,
Passo 5
Observamos que a diferença de energia
depende linearmente de
. Mas queremos mostrar que isso é proporcional ao quadrado dos números quânticos. Se considerarmos que
é grande,
é aproximadamente proporcional a
, então:
No entanto, lembrando que a energia total
é proporcional a
, que para valores grandes de
é aproximadamente
. Assim, a diferença de energia também se relaciona com
.
Resposta
Assim, mostramos que a diferença de energia entre os níveis rotacionais da molécula de HBr é diretamente proporcional ao quadrado dos números quânticos
.