Um barco cuja velocidade inicial é v0 é desacelerado por uma força de atrito
F=-b e^alpha v
a) determine seu movimento.
b) determine o tempo e a distância necessária para parar o barco.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um barco com velocidade inicial que está sendo desacelerado por uma força de atrito dada por . O conteúdo envolvido aqui é a dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração. Para resolver esse exercício, vamos precisar aplicar essa lei e resolver uma equação diferencial para determinar o movimento do barco, assim como calcular o tempo e a distância necessários para ele parar.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que afirma que m dvdt = -b e^alpha v , onde é a força resultante, é a massa do objeto e é a aceleração. No nosso caso, a força de atrito é , então temos:

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis dve^alpha v = -bm dt e :
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a relação entre velocidade e tempo.

Passo 4

Integrando os dois lados da equação:
integral dve^alpha v = -bm integral dt
A integral à esquerda pode ser resolvida usando a substituição -1alpha e^-alpha v = -bm t + C , o que nos dá:

Passo 5

Vamos aplicar a condição inicial -1alpha e^-alpha v0 = C quando -1alpha e^-alpha v = -bm t - 1alpha e^-alpha v0 para encontrar a constante e^-alpha v = alpha bm t + e^-alpha v0 :
-alpha v = ln( alpha bm t + e^-alpha v0 )
Substituindo v(t) = -1alpha ln( alpha bm t + e^-alpha v0 ) na equação anterior:
Multiplicando ambos os lados por -1 e rearranjando:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Finalmente, isolando :

Passo 6

Para determinar o tempo necessário para o barco parar, ou seja, quando 0 = -1alpha ln( alpha bm T + e^-alpha v0 ) :
ln( alpha bm T + e^-alpha v0 ) = 0
Multiplicando ambos os lados por - alpha bm T + e^-alpha v0 = 1 :
T = malpha b ( 1 - e^-alpha v0 )
Exponenciando ambos os lados:
Isolando :

Passo 7

Para encontrar a distância percorrida até o barco parar, vamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
S = integral0^T v(t) , dt = -1alpha integral0^T ln( alpha bm t + e^-alpha v0 ) dt
Essa integral pode ser resolvida por métodos de integração por partes ou utilizando tabelas de integrais, resultando em:
S = malpha^2 b [ ( alpha bm T + e^-alpha v0 ) ln( alpha bm T + e^-alpha v0 ) - alpha bm T ]
Substituindo na expressão acima, obtemos a distância final.

Resposta

a) O movimento do barco é descrito pela função de velocidade em função do tempo:
v(t) = -1alpha ln( alpha bm t + e^-alpha v0 )
b) O tempo necessário para o barco parar é:
T = malpha b ( 1 - e^-alpha v0 )
E a distância percorrida até parar é:
S = malpha^2 b [ ( alpha bm T + e^-alpha v0 ) ln( alpha bm T + e^-alpha v0 ) - alpha bm T ]

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