Um barco cuja velocidade inicial é
é desacelerado por uma força de atrito
a) determine seu movimento.
b) determine o tempo e a distância necessária para parar o barco.
b) determine o tempo e a distância necessária para parar o barco.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um barco com velocidade inicial
que está sendo desacelerado por uma força de atrito dada por
. O conteúdo envolvido aqui é a dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração. Para resolver esse exercício, vamos precisar aplicar essa lei e resolver uma equação diferencial para determinar o movimento do barco, assim como calcular o tempo e a distância necessários para ele parar.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que afirma que
, onde
é a força resultante,
é a massa do objeto e
é a aceleração. No nosso caso, a força de atrito é
, então temos:
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
:
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a relação entre velocidade e tempo.
Passo 4
Integrando os dois lados da equação:
A integral à esquerda pode ser resolvida usando a substituição
, o que nos dá:
Passo 5
Vamos aplicar a condição inicial
quando
para encontrar a constante
:
Substituindo
na equação anterior:
Multiplicando ambos os lados por -1 e rearranjando:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Finalmente, isolando
:
Passo 6
Para determinar o tempo necessário para o barco parar, ou seja, quando
:
Multiplicando ambos os lados por -
:
Exponenciando ambos os lados:
Isolando
:
Passo 7
Para encontrar a distância percorrida até o barco parar, vamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
Essa integral pode ser resolvida por métodos de integração por partes ou utilizando tabelas de integrais, resultando em:
Substituindo
na expressão acima, obtemos a distância final.
Resposta
a) O movimento do barco é descrito pela função de velocidade em função do tempo:
b) O tempo necessário para o barco parar é:
E a distância percorrida até parar é:
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