Um barco cuja velocidade inicial é é desacelerado por uma força de atrito
a) determine seu movimento.
b) determine o tempo e a distância necessária para parar o barco.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um barco com velocidade inicial que está sendo desacelerado por uma força de atrito dada por . O conteúdo envolvido aqui é a dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração. Para resolver esse exercício, vamos precisar aplicar essa lei e resolver uma equação diferencial para determinar o movimento do barco, assim como calcular o tempo e a distância necessários para ele parar.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que afirma que , onde é a força resultante, é a massa do objeto e é a aceleração. No nosso caso, a força de atrito é , então temos:

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis e :
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a relação entre velocidade e tempo.

Passo 4

Integrando os dois lados da equação:
A integral à esquerda pode ser resolvida usando a substituição , o que nos dá:

Passo 5

Vamos aplicar a condição inicial quando para encontrar a constante :
Substituindo na equação anterior:
Multiplicando ambos os lados por -1 e rearranjando:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Finalmente, isolando :

Passo 6

Para determinar o tempo necessário para o barco parar, ou seja, quando :
Multiplicando ambos os lados por - :
Exponenciando ambos os lados:
Isolando :

Passo 7

Para encontrar a distância percorrida até o barco parar, vamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
Essa integral pode ser resolvida por métodos de integração por partes ou utilizando tabelas de integrais, resultando em:
Substituindo na expressão acima, obtemos a distância final.

Resposta

a) O movimento do barco é descrito pela função de velocidade em função do tempo:
b) O tempo necessário para o barco parar é:
E a distância percorrida até parar é:

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