Uma massa submetida a uma força restauradora linear e um amortecimento desloca-se a uma distância da posição de equilíbrio, sendo largada com velocidade inicial igual a . Demonstre detalhadamente os movimentos para os casos de subamortecimento, amortecimento critico e superamortecimento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre o movimento de uma massa que está sujeita a uma força restauradora linear e a um amortecimento . O objetivo é demonstrar detalhadamente os movimentos para três casos diferentes de amortecimento: subamortecimento, amortecimento crítico e superamortecimento. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação diferencial do movimento amortecido e analisar suas soluções em cada um desses casos.

Passo 2

Primeiro, precisamos escrever a equação diferencial que descreve o movimento da massa. Sabemos que a força resultante agindo na massa é a soma da força restauradora e da força de amortecimento . Aplicando a segunda lei de Newton, temos:
Aqui, é a massa, é o coeficiente de amortecimento, é a constante da mola, e é o deslocamento da posição de equilíbrio.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos assumir soluções da forma , onde é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação diferencial:
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero):
Essa é a equação característica associada ao nosso problema. Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação para determinar a solução geral.

Passo 4

A equação característica é uma equação quadrática na forma , onde:
As raízes são dadas por:
O comportamento do sistema depende do discriminante :
  1. Subamortecimento:
  2. Amortecimento crítico:
  3. Superamortecimento:
Vamos analisar cada caso separadamente.

Passo 5

1. Subamortecimento ( )

Quando , as raízes são reais e distintas:
A solução geral é:
Como ambas as raízes são negativas, o sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar, mas mais devagar que no caso crítico.

2. Amortecimento Crítico ( )

Quando , as raízes são reais e iguais:
A solução geral é:
Este é o caso em que o sistema retorna ao equilíbrio o mais rápido possível sem oscilações.

3. Superamortecimento ( )

Quando , as raízes são complexas:
Podemos escrever a solução geral como:
Onde . Nesse caso, apesar das raízes serem complexas, o sistema não oscila e retorna ao equilíbrio de forma mais lenta que no caso subamortecido.

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para determinar as constantes e . As condições fornecidas são:
  • Deslocamento inicial: (supondo que é largada de uma posição )
  • Velocidade inicial:
Dependendo do caso de amortecimento, substituímos nas soluções gerais e resolvemos para e .
Por exemplo, no caso de amortecimento crítico:
e
Resolvendo essas equações, obtemos os valores de e para cada caso específico.

Resposta

Demonstramos que o movimento da massa pode ser descrito pelas seguintes soluções para cada caso de amortecimento:
  1. Subamortecimento ( ):
  1. Amortecimento Crítico ( ):
  1. Superamortecimento ( ):
Em cada caso, as constantes e são determinadas pelas condições iniciais de deslocamento e velocidade. Assim, caracterizamos detalhadamente os movimentos para os diferentes regimes de amortecimento.

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