Uma massa submetida a uma força restauradora linear -k x e um amortecimento b v desloca-se a uma distância x da posição de equilíbrio, sendo largada com velocidade inicial igual a v0. Demonstre detalhadamente os movimentos para os casos de subamortecimento, amortecimento critico e superamortecimento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre o movimento de uma massa que está sujeita a uma força restauradora linear -kx e a um amortecimento bv. O objetivo é demonstrar detalhadamente os movimentos para três casos diferentes de amortecimento: subamortecimento, amortecimento crítico e superamortecimento. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação diferencial do movimento amortecido e analisar suas soluções em cada um desses casos.

Passo 2

Primeiro, precisamos escrever a equação diferencial que descreve o movimento da massa. Sabemos que a força resultante agindo na massa é a soma da força restauradora -kx e da força de amortecimento -bv. Aplicando a segunda lei de Newton, temos:
m d^2xdt^2 + b dxdt + kx = 0
Aqui, m é a massa, b é o coeficiente de amortecimento, k é a constante da mola, e x é o deslocamento da posição de equilíbrio.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos assumir soluções da forma x(t) = e^rt, onde r é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação diferencial:
m r^2 e^rt + b r e^rt + k e^rt = 0
Dividindo ambos os lados por e^rt (que nunca é zero):
m r^2 + b r + k = 0
Essa é a equação característica associada ao nosso problema. Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação para determinar a solução geral.

Passo 4

A equação característica é uma equação quadrática na forma ar^2 + br + c = 0, onde:
  • a = m
  • b = b
  • c = k
As raízes são dadas por:
r = -b pm raizb^2 - 4mk2m
O comportamento do sistema depende do discriminante De:
  1. Subamortecimento: De 0
  2. Amortecimento crítico: De
  3. Superamortecimento: De
Vamos analisar cada caso separadamente.

Passo 5

1. Subamortecimento ( De 0)

Quando b^2 > 4mk, as raízes r são reais e distintas:
r1 = -b + raizb^2 - 4mk2m, r2 = -b - raizb^2 - 4mk2m
A solução geral é:
x(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t
Como ambas as raízes são negativas, o sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar, mas mais devagar que no caso crítico.

2. Amortecimento Crítico ( De)

Quando b^2 = 4mk, as raízes são reais e iguais:
r = -b2m
A solução geral é:
x(t) = (C1 + C2 t) e^rt
Este é o caso em que o sistema retorna ao equilíbrio o mais rápido possível sem oscilações.

3. Superamortecimento ( De)

Quando b^2 < 4mk, as raízes são complexas:
r = -b2m pm i raiz4mk - b^22m
Podemos escrever a solução geral como:
x(t) = e^-b2m t (C1 cos(omega t) + C2 sin(omega t))
Onde omega = raiz4mk - b^22m. Nesse caso, apesar das raízes serem complexas, o sistema não oscila e retorna ao equilíbrio de forma mais lenta que no caso subamortecido.

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para determinar as constantes C1 e C2. As condições fornecidas são:
  • Deslocamento inicial: x(0) = x0 (supondo que x é largada de uma posição x0)
  • Velocidade inicial: v(0) = v0
Dependendo do caso de amortecimento, substituímos t=0 nas soluções gerais e resolvemos para C1 e C2.
Por exemplo, no caso de amortecimento crítico:
x(0) = C1 = x0
e
v(0) = C2 r + C1 r = v0
Resolvendo essas equações, obtemos os valores de C1 e C2 para cada caso específico.

Resposta

Demonstramos que o movimento da massa pode ser descrito pelas seguintes soluções para cada caso de amortecimento:
  1. Subamortecimento ( b^2 > 4mk):
x(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t, com r1,2 = -b pm raizb^2 - 4mk2m
  1. Amortecimento Crítico ( b^2 = 4mk):
x(t) = (C1 + C2 t) e^-b2m t
  1. Superamortecimento ( b^2 < 4mk):
x(t) = e^-b2m t (C1 cos(omega t) + C2 sin(omega t)), com omega = raiz4mk - b^22m
Em cada caso, as constantes C1 e C2 são determinadas pelas condições iniciais de deslocamento e velocidade. Assim, caracterizamos detalhadamente os movimentos para os diferentes regimes de amortecimento.

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