Uma massa submetida a uma força restauradora linear
e um amortecimento
desloca-se a uma distância
da posição de equilíbrio, sendo largada com velocidade inicial igual a
. Demonstre detalhadamente os movimentos para os casos de subamortecimento, amortecimento critico e superamortecimento.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre o movimento de uma massa que está sujeita a uma força restauradora linear
e a um amortecimento
. O objetivo é demonstrar detalhadamente os movimentos para três casos diferentes de amortecimento: subamortecimento, amortecimento crítico e superamortecimento. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação diferencial do movimento amortecido e analisar suas soluções em cada um desses casos.
Passo 2
Primeiro, precisamos escrever a equação diferencial que descreve o movimento da massa. Sabemos que a força resultante agindo na massa é a soma da força restauradora
e da força de amortecimento
. Aplicando a segunda lei de Newton, temos:
Aqui,
é a massa,
é o coeficiente de amortecimento,
é a constante da mola, e
é o deslocamento da posição de equilíbrio.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos assumir soluções da forma
, onde
é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação diferencial:
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero):
Essa é a equação característica associada ao nosso problema. Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação para determinar a solução geral.
Passo 4
A equação característica é uma equação quadrática na forma
, onde:
As raízes são dadas por:
O comportamento do sistema depende do discriminante
:
- Subamortecimento:
- Amortecimento crítico:
- Superamortecimento:
Vamos analisar cada caso separadamente.
Passo 5
1. Subamortecimento (
)
Quando
, as raízes
são reais e distintas:
A solução geral é:
Como ambas as raízes são negativas, o sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar, mas mais devagar que no caso crítico.
2. Amortecimento Crítico (
)
Quando
, as raízes são reais e iguais:
A solução geral é:
Este é o caso em que o sistema retorna ao equilíbrio o mais rápido possível sem oscilações.
3. Superamortecimento (
)
Quando
, as raízes são complexas:
Podemos escrever a solução geral como:
Onde
. Nesse caso, apesar das raízes serem complexas, o sistema não oscila e retorna ao equilíbrio de forma mais lenta que no caso subamortecido.
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para determinar as constantes
e
. As condições fornecidas são:
- Deslocamento inicial:
(supondo que é largada de uma posição ) - Velocidade inicial:
Dependendo do caso de amortecimento, substituímos
nas soluções gerais e resolvemos para
e
.
Por exemplo, no caso de amortecimento crítico:
e
Resolvendo essas equações, obtemos os valores de
e
para cada caso específico.
Resposta
Demonstramos que o movimento da massa pode ser descrito pelas seguintes soluções para cada caso de amortecimento:
- Subamortecimento (
):
- Amortecimento Crítico (
):
- Superamortecimento (
):
Em cada caso, as constantes
e
são determinadas pelas condições iniciais de deslocamento e velocidade. Assim, caracterizamos detalhadamente os movimentos para os diferentes regimes de amortecimento.
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