Considere um capacitor de placas paralelas e uma carga elétrica (-e) sob a influência do campo elétrico alternado E(t) entre as placas, sendo que o campo elétrico é dado por E(t)=E0 cos (omega t+Phi) e a força elétrica é F=qE. (a) Obtenha as expressões para a velocidade e a posição desta carga (considere neste item t 0=0 ), (b) A partir da expressão para x(t) considerando v 0=0, esboce um gráfico de x versus t .

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado fala sobre um capacitor de placas paralelas com uma carga elétrica (-e) que está sob a influência de um campo elétrico alternado dado por . A força elétrica é dada por . Nosso objetivo é:
a) Encontrar as expressões para a velocidade e a posição dessa carga, considerando que no tempo inicial .
Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de Newton para movimento e integrar as funções do campo elétrico para encontrar a velocidade e a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar a força elétrica com a segunda lei de Newton. Sabemos que m dvdt = q E0 cos(omega t + Phi) , onde é a massa da carga.
Dado que , podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos isolar dvdt = q E0m cos(omega t + Phi) :
Para encontrar a velocidade , precisamos integrar essa expressão em relaç��o ao tempo.

Passo 4

Integrando ambos os lados:
integral dvdt , dt = integral q E0m cos(omega t + Phi) , dt
Isso resulta em:
v(t) = q E0m omega sin(omega t + Phi) + C
Onde é a constante de integração. Como não temos velocidade inicial especificada, vamos considerar .

Passo 5

Portanto, a expressão para a velocidade é:
v(t) = q E0m omega sin(omega t + Phi)
Agora, para encontrar a posição , precisamos integrar a expressão da velocidade.

Passo 6

Integrando x(t) = integral v(t) , dt = integral q E0m omega sin(omega t + Phi) , dt em relação ao tempo:
x(t) = -q E0m omega^2 cos(omega t + Phi) + D
Isso resulta em:
0 = -q E0m omega^2 cos(Phi) + D implies D = q E0m omega^2 cos(Phi)
Onde é outra constante de integração. Considerando que no tempo , , temos:

Passo 7

Substituindo x(t) = -q E0m omega^2 cos(omega t + Phi) + q E0m omega^2 cos(Phi) na expressão de x(t) = q E0m omega^2 [ cos(Phi) - cos(omega t + Phi) ] :
Podemos simplificar isso:

Resposta

As expressões para a velocidade e a posição da carga são:
v(t) = q E0m omega sin(omega t + Phi)
x(t) = q E0m omega^2 [ cos(Phi) - cos(omega t + Phi) ]

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