Um barco percorre seu trajeto de descida de um rio, a favor da correnteza, com a velocidade de 2m/s em relação à água. Na subida, contra a correnteza, retornando ao ponto de partida, sua velocidade é de 8 m/s, também em relação à água. Considere que:– o barco navegue sempre em linha reta e na direção da correnteza;– a velocidade da correnteza seja sempre constante;– a soma dos tempos de descida e de subida do barco seja igual a 10 min. Assim, a maior distância, em metros, que o barco pode percorrer, neste intervalo de tempo, é igual a:
a) 1250
b) 1500
c)1750
d)2000
e)3000
a) 1250
b) 1500
c)1750
d)2000
e)3000
Passo 1
Vamos analisar o problema: um barco está descendo e subindo um rio com velocidades diferentes em relação à água devido à correnteza. Queremos descobrir qual é a maior distância que ele pode percorrer no total de 10 minutos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de velocidade, tempo e distância, além de entender como a correnteza do rio afeta a velocidade do barco.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as velocidades do barco em relação à terra quando está descendo e subindo:
-
Descida (a favor da correnteza):
- Velocidade do barco em relação à água: $ 2 , m/s $
- Velocidade da correnteza: $ c , m/s $
- Velocidade efetiva na descida: $ V_{descida} = 2 + c $
-
Subida (contra a correnteza):
- Velocidade do barco em relação à água: $ 8 , m/s $
- Velocidade da correnteza: $ c , m/s $
- Velocidade efetiva na subida: $ V_{subida} = 8 - c $
Passo 3
O tempo total da viagem é de 10 minutos, que é igual a 600 segundos. Vamos chamar a distância percorrida de $ D $ metros.
- Tempo de descida: $ T_{descida} = \frac{D}{V_{descida}} = \frac{D}{2 + c} $
- Tempo de subida: $ T_{subida} = \frac{D}{V_{subida}} = \frac{D}{8 - c} $
De acordo com o enunciado:
Substituindo:
Passo 4
Fatorando $ D $ na equação:
Passo 5
Somando as frações dentro do parêntese:
A equação fica então:
Passo 6
Isolando $ D $:
Passo 7
Para maximizar $ D $, precisamos maximizar a expressão $ (2 + c)(8 - c) $. Vamos expandir:
Queremos encontrar o valor de $ c $ que maximiza essa expressão.
Passo 8
A expressão $ f© = -c^2 + 6c + 16 $ é uma parábola que abre para baixo, então o ponto de máximo está no vértice. A fórmula para encontrar o vértice de uma parábola $ f© = ac^2 + bc + d $ é:
Aqui, $ a = -1 $ e $ b = 6 $:
Passo 9
Com $ c = 3 , m/s $, substituímos na fórmula de $ D $:
Resposta
A maior distância que o barco pode percorrer nesse intervalo de tempo é 1500 metros, opção b).