Um barco percorre seu trajeto de descida de um rio, a favor da correnteza, com a velocidade de 2m/s em relação à água. Na subida, contra a correnteza, retornando ao ponto de partida, sua velocidade é de 8 m/s, também em relação à água. Considere que:– o barco navegue sempre em linha reta e na direção da correnteza;– a velocidade da correnteza seja sempre constante;– a soma dos tempos de descida e de subida do barco seja igual a 10 min. Assim, a maior distância, em metros, que o barco pode percorrer, neste intervalo de tempo, é igual a:
a) 1250
b) 1500
c)1750
d)2000
e)3000

Passo 1

Vamos analisar o problema: um barco está descendo e subindo um rio com velocidades diferentes em relação à água devido à correnteza. Queremos descobrir qual é a maior distância que ele pode percorrer no total de 10 minutos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de velocidade, tempo e distância, além de entender como a correnteza do rio afeta a velocidade do barco.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as velocidades do barco em relação à terra quando está descendo e subindo:
  • Descida (a favor da correnteza):
    • Velocidade do barco em relação à água: $ 2 , m/s $
    • Velocidade da correnteza: $ c , m/s $
    • Velocidade efetiva na descida: $ V_{descida} = 2 + c $
  • Subida (contra a correnteza):
    • Velocidade do barco em relação à água: $ 8 , m/s $
    • Velocidade da correnteza: $ c , m/s $
    • Velocidade efetiva na subida: $ V_{subida} = 8 - c $

Passo 3

O tempo total da viagem é de 10 minutos, que é igual a 600 segundos. Vamos chamar a distância percorrida de $ D $ metros.
  • Tempo de descida: $ T_{descida} = \frac{D}{V_{descida}} = \frac{D}{2 + c} $
  • Tempo de subida: $ T_{subida} = \frac{D}{V_{subida}} = \frac{D}{8 - c} $
De acordo com o enunciado:
D
Substituindo:
Tdescida = DVdescida = D2 + c

Passo 4

Fatorando $ D $ na equação:
D

Passo 5

Somando as frações dentro do parêntese:
12 + c + 18 - c = (8 - c) + (2 + c)(2 + c)(8 - c) = 10(2 + c)(8 - c)
A equação fica então:
D cdot 10(2 + c)(8 - c) = 600

Passo 6

Isolando $ D $:
D

Passo 7

Para maximizar $ D $, precisamos maximizar a expressão $ (2 + c)(8 - c) $. Vamos expandir:
D
Queremos encontrar o valor de $ c $ que maximiza essa expressão.

Passo 8

A expressão $ f© = -c^2 + 6c + 16 $ é uma parábola que abre para baixo, então o ponto de máximo está no vértice. A fórmula para encontrar o vértice de uma parábola $ f© = ac^2 + bc + d $ é:
f(c) = -c^2 + 6c + 16
Aqui, $ a = -1 $ e $ b = 6 $:
f(c) = ac^2 + bc + d

Passo 9

Com $ c = 3 , m/s $, substituímos na fórmula de $ D $:
c = 3 , m/s

Resposta

A maior distância que o barco pode percorrer nesse intervalo de tempo é 1500 metros, opção b).

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