Um estudante de Física observa a imagem de uma árvore formada em uma câmara escura. Com o objetivo de definir a altura da árvore, o estudante posiciona a câmara, de 20 cm de comprimento, a uma distância de 30 m da árvore. Se o tamanho da imagem obtida pelo instrumento foi de 10 cm, qual era a altura da árvore?
Passo 1
Vamos resumir o problema e ver o que precisamos para resolvê-lo. Temos um estudante de Física que usa uma câmara escura para medir a altura de uma árvore. A câmera tem 20 cm de comprimento e está a 30 metros da árvore. A imagem da árvore formada na câmara tem 10 cm de altura. Vamos usar conceitos de geometria, especificamente triângulos semelhantes, para descobrir qual é a altura real da árvore.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma câmara escura. É um dispositivo que projeta uma imagem invertida de um objeto através de um pequeno orifício. A formação da imagem segue princípios de triângulos semelhantes, onde as proporções entre os lados dos triângulos são iguais.
Passo 3
Vamos identificar os elementos que temos:
- Comprimento da câmara (distância entre o orifício e a tela onde a imagem é formada): $ l = 20, cm $
- Distância da câmera à árvore (distância do objeto à câmera): $ D = 30, m = 3000, cm $ (convertendo para a mesma unidade)
- Altura da imagem na câmara: $ h_{imagem} = 10, cm $
- Altura da árvore que queremos encontrar: $ H $
Passo 4
Como os triângulos são semelhantes, as proporções das alturas são iguais às proporções das distâncias. Isso significa que:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores que temos na equação:
Passo 6
Simplificando a fração do lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 7
Para encontrar $ H $, multiplicamos ambos os lados da equação por 3000:
Passo 8
Convertendo centímetros para metros:
Resposta
A altura da árvore é de 15 metros.