Uma barra de aço e uma barra de alumínio, cada uma com diâmetro de 1,00 cm e comprimento de 25,0 cm, são soldadas ponta a ponta. Uma extremidade da barra de aço é colocada em um grande tanque de água fervente a 100^circ C, enquanto a extremidade oposta da barra de alumínio é colocada em um grande tanque de água a 20^circ C. As barras estão isoladas para que nenhum calor escape de suas superfícies. a) Qual é a temperatura na junção e qual é a taxa de condução de calor através desta barra composta? b)Explique com cálculos. c) Como a taxa de transferência de calor por condução muda quando todas as dimensões espaciais são duplicadas?

Passo 1

Então, temos duas barras, uma de aço e outra de alumínio, ambas com diâmetro de e comprimento de , soldadas ponta a ponta. Uma extremidade da barra de aço está em água fervente a e a extremidade da barra de alumínio está em água a . Queremos encontrar a temperatura na junção das barras e a taxa de condução de calor através delas. Vamos precisar usar a Lei de Fourier para condução de calor e os valores das condutividades térmicas do aço e do alumínio.

Passo 2

Primeiro, a Lei de Fourier para condução de calor é dada por:
dotQ = k cdot A cdot De
onde:
  • kaço cdot A cdot (Tquente - Tjunção)L = kalumínio cdot A cdot (Tjunção - Tfria)L é a taxa de transferência de calor,
  • kaço cdot (Tquente - Tjunção) = kalumínio cdot (Tjunção - Tfria) é a condutividade térmica do material,
  • Tjunção = kalumínio cdot Tfria + kaço cdot Tquentekaço + kalumínio é a área da seção transversal,
  • é a diferença de temperatura,
  • é o comprimento da barra.
Como as barras estão em regime estacionário e isoladas, a quantidade de calor que passa pelo aço deve ser igual à que passa pelo alumínio:
ççãíçã
Podemos simplificar a equação cancelando e :
ççãíçã
Resolvendo para çã:
çãíççí

Passo 3

Vamos inserir os valores. Considerando:
  • Tjunção = 205 cdot 20 + 50 cdot 10050 + 205 = 4100 + 5000255 approx 9100255 approx 35,69^circ, C ç
  • dotQ = 50 cdot A cdot (100 - 35,69)0,25 í
  • A = pi (d2)^2 = pi (0,012)^2 approx 7,85 times 10^-5, m^2
  • dotQ = 50 cdot 7,85 times 10^-5 cdot 64,310,25 approx 8,05, W
Substituindo na fórmula:
çã
Agora, para encontrar a taxa de condução de calor, usamos novamente a Lei de Fourier com çã:
Calculando a área da seção transversal:
Então:

Resposta

A temperatura na junção das barras é aproximadamente e a taxa de condução de calor através da barra composta é cerca de .

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