Mostre que o valor médio do vetor de poynting é dado por:
. Dica: o valor médio de qualquer função integrável
no intervalo
se escreve
. Considere somente a variação temporal da onda eletromagnética e
, onde
é o período de oscilação da onda.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos mostrar que o valor médio do vetor de Poynting, que representa a intensidade da onda eletromagnética, é dado por:
Aqui,
é a permeabilidade do vácuo e
é a velocidade da luz. Para resolver isso, vamos usar o conceito de valor médio de uma função no período da oscilação da onda eletromagnética. Vamos precisar integrar a expressão do vetor de Poynting ao longo de um período completo.
Passo 2
O vetor de Poynting
em uma onda eletromagnética plana é dado por:
Onde
é o campo elétrico e
é o campo magnético. Para uma onda que se propaga no vácuo, os campos elétrico e magnético são perpendiculares e podem ser expressos como funções senoidais do tempo:
Passo 3
Sabemos que a relação entre os campos elétrico e magnético em uma onda eletromagnética no vácuo é:
Isso nos ajuda a relacionar
e
diretamente através da velocidade da luz
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar cruzado
:
Portanto, o vetor de Poynting é:
Passo 5
Para encontrar o valor médio do vetor de Poynting ao longo de um período
, usamos a definição de valor médio:
Passo 6
Simplificamos a expressão:
Sabemos que:
Passo 7
Substituindo na integral:
Passo 8
Calculando as integrais:
-
-
(porque )
Portanto:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão do valor médio:
Resposta
O valor médio do vetor de Poynting é dado por: