Mostre que o valor médio do vetor de poynting é dado por: <|S|>=Emax ^22 mu0 c. Dica: o valor médio de qualquer função integrável f(t) no intervalo [a, b] se escreve =1b-a integrala^b f(t) d t. Considere somente a variação temporal da onda eletromagnética e omega=2 piT, onde T é o período de oscilação da onda.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos mostrar que o valor médio do vetor de Poynting, que representa a intensidade da onda eletromagnética, é dado por:
lang<= |S| rang<= = Emax^22 mu0 c
Aqui, mu0 é a permeabilidade do vácuo e c é a velocidade da luz. Para resolver isso, vamos usar o conceito de valor médio de uma função no período da oscilação da onda eletromagnética. Vamos precisar integrar a expressão do vetor de Poynting ao longo de um período completo.

Passo 2

O vetor de Poynting S em uma onda eletromagnética plana é dado por:
S = 1mu0 E times B
Onde E é o campo elétrico e B é o campo magnético. Para uma onda que se propaga no vácuo, os campos elétrico e magnético são perpendiculares e podem ser expressos como funções senoidais do tempo:
E(t) = Emax cos(omega t) x
B(t) = Bmax cos(omega t) y

Passo 3

Sabemos que a relação entre os campos elétrico e magnético em uma onda eletromagnética no vácuo é:
Bmax = Emaxc
Isso nos ajuda a relacionar E e B diretamente através da velocidade da luz c.

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar cruzado E times B:
E times B = Emax cos(omega t) x times Emaxc cos(omega t) y = Emax^2c cos^2(omega t) z
Portanto, o vetor de Poynting é:
S(t) = 1mu0 times Emax^2c cos^2(omega t) z = Emax^2mu0 c cos^2(omega t) z

Passo 5

Para encontrar o valor médio do vetor de Poynting ao longo de um período T, usamos a definição de valor médio:
lang<= |S| rang<= = 1T integral0^T |S(t)| , dt = 1T integral0^T Emax^2mu0 c cos^2(omega t) , dt

Passo 6

Simplificamos a expressão:
lang<= |S| rang<= = Emax^2mu0 c T integral0^T cos^2(omega t) , dt
Sabemos que:
cos^2(omega t) = 1 + cos(2omega t)2

Passo 7

Substituindo na integral:
integral0^T cos^2(omega t) , dt = integral0^T 1 + cos(2omega t)2 , dt = 12 integral0^T 1 , dt + 12 integral0^T cos(2omega t) , dt

Passo 8

Calculando as integrais:
  1. 12 integral0^T 1 , dt = 12 T
  2. 12 integral0^T cos(2omega t) , dt = 12 times [ sin(2omega t)2omega ]0^T = 0 (porque sin(2omega T) = sin(4pi) = 0)
Portanto:
integral0^T cos^2(omega t) , dt = 12 T

Passo 9

Substituindo de volta na expressão do valor médio:
lang<= |S| rang<= = Emax^2mu0 c T times 12 T = Emax^22 mu0 c

Resposta

O valor médio do vetor de Poynting é dado por:
lang<= |S| rang<= = Emax^22 mu0 c

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