Uma barra de aço é curvada no formato de um arco circular para servir de suporte para um letreiro em uma loja da cidade. Com base no texto, responda aos itens a seguir:
A) O ângulo central do arco formado foi estimado em 90 graus. Calcule o comprimento do arco formado para y = 6 m e x = 30 m.
B) Sabe-se que a barra, ao sofrer a tensão para o formato do arco, acaba por aumentar seu tamanho em 10%. Determine a medida do arco AB para uma barra de comprimento original 30/11 m e raio de circunferência associada ao arco AB de 6 m.
C) Calcule o valor do raio da circunferência associada ao arco formado para os valores de x = 24 m e y = 8 m.
A) O ângulo central do arco formado foi estimado em 90 graus. Calcule o comprimento do arco formado para y = 6 m e x = 30 m.
B) Sabe-se que a barra, ao sofrer a tensão para o formato do arco, acaba por aumentar seu tamanho em 10%. Determine a medida do arco AB para uma barra de comprimento original 30/11 m e raio de circunferência associada ao arco AB de 6 m.
C) Calcule o valor do raio da circunferência associada ao arco formado para os valores de x = 24 m e y = 8 m.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre geometria envolvendo arcos de circunferência. Precisamos calcular comprimentos de arcos e raios de circunferência usando fórmulas de geometria básica. Vamos resolver cada item passo a passo.
Item A
Enunciado
O ângulo central do arco formado foi estimado em 90 graus. Calcule o comprimento do arco formado para $ y = 6 $ m e $ x = 30 $ m.
Resolução
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ângulo central. É o ângulo formado no centro de uma circunferência pelos dois raios que delimitam o arco. Sabemos que o comprimento do arco ($ L $) pode ser calculado pela fórmula:
onde:
- $ \theta $ é o ângulo central em graus,
- $ r $ é o raio da circunferência.
Passo 3
No enunciado, temos $ \theta = 90^\circ $, e precisamos encontrar o raio $ r $. Vamos relacionar os valores de $ y = 6 $ m e $ x = 30 $ m.
Assumindo que $ y $ representa a altura máxima do arco e $ x $ o comprimento total da barra, podemos usar trigonometria para encontrar o raio.
Passo 4
Em um arco de 90 graus, a relação entre a altura ($ y
r $) é:
Substituindo $ \theta = 90^\circ $:
Sabemos que $ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, então:
Passo 5
Resolvendo para $ r $:
Multiplicando o numerador e o denominador por $ 2 + \sqrt{2} $ para racionalizar:
Passo 6
Agora que temos o raio, podemos calcular o comprimento do arco ($ L $):
Simplificando:
Resposta
O comprimento do arco formado é aproximadamente 32,18 metros.