Uma barra de aço é curvada no formato de um arco circular para servir de suporte para um letreiro em uma loja da cidade. Com base no texto, responda aos itens a seguir:
A) O ângulo central do arco formado foi estimado em 90 graus. Calcule o comprimento do arco formado para y = 6 m e x = 30 m.
B) Sabe-se que a barra, ao sofrer a tensão para o formato do arco, acaba por aumentar seu tamanho em 10%. Determine a medida do arco AB para uma barra de comprimento original 30/11 m e raio de circunferência associada ao arco AB de 6 m.
C) Calcule o valor do raio da circunferência associada ao arco formado para os valores de x = 24 m e y = 8 m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre geometria envolvendo arcos de circunferência. Precisamos calcular comprimentos de arcos e raios de circunferência usando fórmulas de geometria básica. Vamos resolver cada item passo a passo.

Item A

Enunciado

O ângulo central do arco formado foi estimado em 90 graus. Calcule o comprimento do arco formado para $ y = 6 $ m e $ x = 30 $ m.

Resolução

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ângulo central. É o ângulo formado no centro de uma circunferência pelos dois raios que delimitam o arco. Sabemos que o comprimento do arco ($ L $) pode ser calculado pela fórmula:
L
onde:
  • $ \theta $ é o ângulo central em graus,
  • $ r $ é o raio da circunferência.

Passo 3

No enunciado, temos $ \theta = 90^\circ $, e precisamos encontrar o raio $ r $. Vamos relacionar os valores de $ y = 6 $ m e $ x = 30 $ m.
Assumindo que $ y $ representa a altura máxima do arco e $ x $ o comprimento total da barra, podemos usar trigonometria para encontrar o raio.

Passo 4

Em um arco de 90 graus, a relação entre a altura ($ y y r $) é:
r
Substituindo $ \theta = 90^\circ $:
y = r (1 - cos(theta2))
Sabemos que $ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, então:
theta = 90^circ

Passo 5

Resolvendo para $ r $:
r
Multiplicando o numerador e o denominador por $ 2 + \sqrt{2} $ para racionalizar:
r = 61 - raiz22 = 62 - raiz22 = 6 times 22 - raiz2 = 122 - raiz2

Passo 6

Agora que temos o raio, podemos calcular o comprimento do arco ($ L $):
L
Simplificando:
L = 90360 times 2pi r = 14 times 2pi (12 + 6raiz2) = 12 pi (12 + 6raiz2)

Resposta

O comprimento do arco formado é aproximadamente 32,18 metros.

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