Determine a equação geral do plano perpendicular à reta r : {x = 2y -3}{z = -y+1} e que contém o ponto A (1,2,3).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a equação geral de um plano que seja perpendicular a uma reta específica e que passe por um ponto dado. Aqui, estamos lidando com geometria analítica, mais especificamente com planos e retas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como determinar a equação de um plano a partir de um vetor normal (que vem da reta perpendicular) e de um ponto que ele deve conter.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a direção da reta $ r $. A reta está dada pelas equações paramétricas:
Vamos reescrever essas equações para encontrar os coeficientes que nos darão o vetor diretor da reta. Podemos expressar $ y $ em função de um parâmetro $ t $:
Assim, o vetor diretor $ \vec{d} $ da reta $ r $ é:
Passo 3
Como o plano é perpendicular à reta $ r $, o vetor diretor da reta será o vetor normal $ \vec{n} $ do plano. Portanto,
r
A equação geral de um plano é dada por:
n
onde $ (A, B, C) $ são as componentes do vetor normal $ \vec{n} $ e $ (x_0, y_0, z_0) $ é o ponto pelo qual o plano passa. No nosso caso, $ \vec{n} = n = 2 1 -1 $ e o ponto é $ A(1, 2, 3) $.