Uma barra de aço tem 3 cm de diâmetro a 25°C. Um anel de latão tem um diâmetro interno de 2,992 cm a 25°C. Se os dois objetos são mantidos em equilíbrio térmico, a que temperaturas a barra se ajusta perfeitamente ao furo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma barra de aço com diâmetro de 3 cm a 25°C e um anel de latão com diâmetro interno de 2,992 cm também a 25°C. A parada é descobrir a que temperatura a barra de aço vai ajustar perfeitamente ao furo do anel de latão quando ambos estão em equilíbrio térmico. Para resolver isso, vamos usar o conceito de dilatação térmica, que explica como materiais expandem ou contraem com a temperatura. Precisamos das fórmulas de dilatação linear e conhecer os coeficientes de dilatação térmica do aço e do latão.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o diâmetro da barra de aço e o diâmetro interno do anel de latão vão mudar conforme a temperatura muda. A dilatação linear é dada pela fórmula:
De
Onde:
  • De é a variação no comprimento (ou diâmetro, no nosso caso).
  • L0 é o comprimento inicial (diâmetro inicial).
  • alpha é o coeficiente de dilatação térmica do material.
  • De é a variação de temperatura.

Passo 3

Para essa questão, precisamos dos coeficientes de dilatação térmica do aço e do latão. Geralmente, esses valores são:
  • Aço: alphaaço = 12 times 10^-6 , °C^-1ç
  • Latão: alphalatão = 19 times 10^-6 , °C^-1ã
Vamos considerar que a temperatura inicial é 25°C, e queremos encontrar a temperatura final T onde os diâmetros se igualam.

Passo 4

Vamos chamar de Daçoç o diâmetro da barra de aço e Dlatãoã o diâmetro interno do anel de latão. A condição para que a barra se ajuste perfeitamente ao furo é:
Daço(T) = Dlatão(T) çã
Aplicando a fórmula da dilatação:
Daço = Daço0 cdot (1 + alphaaço cdot Deççç
Dlatão = Dlatão0 cdot (1 + alphalatão cdot Deããã
Igualando os dois:
Daço0 cdot (1 + alphaaço cdot Deççãã

Passo 5

Vamos substituir os valores conhecidos:
3 cdot (1 + 12 times 10^-6 cdot De
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar De.

Passo 6

Primeiro, expandimos os termos:
3 + 3 cdot 12 times 10^-6 cdot De
Calculando os produtos:
3 + 0,000036 cdot De

Passo 7

Vamos isolar De. Primeiro, subtraímos 2,992 de ambos os lados:
0,008 + 0,000036 cdot De
Agora, subtraímos 0,000036 cdot De de ambos os lados:
0,008 = 0,000020848 cdot De

Passo 8

Finalmente, resolvemos para De dividindo ambos os lados por 0,000020848:
De

Resposta

A temperatura necessária para que a barra de aço ajuste perfeitamente ao furo do anel de latão é de aproximadamente 383,26°C.

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