Uma barra de aço tem 3 cm de diâmetro a 25°C. Um anel de latão tem um diâmetro interno de 2,992 cm a 25°C. Se os dois objetos são mantidos em equilíbrio térmico, a que temperaturas a barra se ajusta perfeitamente ao furo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma barra de aço com diâmetro de 3 cm a 25°C e um anel de latão com diâmetro interno de 2,992 cm também a 25°C. A parada é descobrir a que temperatura a barra de aço vai ajustar perfeitamente ao furo do anel de latão quando ambos estão em equilíbrio térmico. Para resolver isso, vamos usar o conceito de dilatação térmica, que explica como materiais expandem ou contraem com a temperatura. Precisamos das fórmulas de dilatação linear e conhecer os coeficientes de dilatação térmica do aço e do latão.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o diâmetro da barra de aço e o diâmetro interno do anel de latão vão mudar conforme a temperatura muda. A dilatação linear é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a variação no comprimento (ou diâmetro, no nosso caso). -
é o comprimento inicial (diâmetro inicial). -
é o coeficiente de dilatação térmica do material. -
é a variação de temperatura.
Passo 3
Para essa questão, precisamos dos coeficientes de dilatação térmica do aço e do latão. Geralmente, esses valores são:
- Aço:
- Latão:
Vamos considerar que a temperatura inicial é 25°C, e queremos encontrar a temperatura final
onde os diâmetros se igualam.
Passo 4
Vamos chamar de
o diâmetro da barra de aço e
o diâmetro interno do anel de latão. A condição para que a barra se ajuste perfeitamente ao furo é:
Aplicando a fórmula da dilatação:
Igualando os dois:
Passo 5
Vamos substituir os valores conhecidos:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 6
Primeiro, expandimos os termos:
Calculando os produtos:
Passo 7
Vamos isolar
. Primeiro, subtraímos 2,992 de ambos os lados:
Agora, subtraímos
de ambos os lados:
Passo 8
Finalmente, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A temperatura necessária para que a barra de aço ajuste perfeitamente ao furo do anel de latão é de aproximadamente 383,26°C.