Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio R1 e comprimento L, carregada com carga Q1=+q, é envolta por uma casca cilíndrica, de raio R2 e mesmo comprimento L, carregada com uma carga Q2=-2 q. Use a lei de Gauss para determinar:
o vetor campo elétrico a uma distância radial r>R2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campo elétrico usando a Lei de Gauss. A gente tem uma barra cilíndrica condutora carregada e uma casca ao redor dela com cargas opostas. Precisamos encontrar o vetor campo elétrico a uma distância radial . Para isso, vamos precisar entender como a Lei de Gauss funciona em simetrias cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante PhiE = oint E cdot dA = Qtotalvarepsilon0 :
Como estamos lidando com simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana que também seja um cilindro coaxial com as barras, com raio e comprimento .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. O campo elétrico PhiE = E cdot (2pi r L) é radial e tem o mesmo valor em todos os pontos da superfície gaussiana, então o fluxo fica:
onde é a área lateral do cilindro.

Passo 4

Precisamos determinar a carga total encerrada pela superfície gaussiana. Temos:
Qtotal = Q1 + Q2 = +q + (-2q) = -q
Então, a carga total dentro da superfície gaussiana é .

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss, igualamos o fluxo ao total de carga dividido por E cdot (2pi r L) = -qvarepsilon0 :
E = -q2pi varepsilon0 r L
Resolvendo para :
O sinal negativo indica que o campo elétrico está direcionado para dentro, ou seja, aponta na direção oposta à radial positiva.

Resposta

O vetor campo elétrico a uma distância E(r) = -q2pi varepsilon0 r L , r é:
Isso significa que o campo elétrico aponta radialmente para dentro da casca cilíndrica.

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