Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio comprimento está carregada com carga . Ela é envolta por uma casca cilíndrica, de raio e de mesmo comprimento . A casca cilíndrica está carregada com uma carga . Use a lei de Gauss para determinar:
(A) o vetor campo elétrico a uma distância radial ;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma barra cilíndrica condutora muito longa com raio e comprimento , carregada com uma carga . Essa barra está envolta por uma casca cilíndrica de raio e mesmo comprimento , que tem uma carga . A gente precisa usar a Lei de Gauss para determinar o vetor campo elétrico a uma distância radial .
Conteúdo da matéria: Lei de Gauss para campos elétricos em distribuições de carga com simetria cilíndrica.
O que vamos precisar: Entender a Lei de Gauss, escolher uma superfície gaussiana adequada e calcular a carga total envolvida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante de permissividade do vácuo ( ):
Como estamos lidando com uma distribuição cilíndrica muito longa, faz sentido escolher uma superfície gaussiana também cil��ndrica, coaxial com a barra e a casca, e com raio e comprimento .

Passo 3

Agora, vamos determinar a carga total enclausurada pela nossa superfície gaussiana. Sabemos que:
  • A barra interna tem carga .
  • A casca externa tem carga .
Como nossa superfície gaussiana está a uma distância , ela engloba tanto a barra quanto a casca. Portanto, a carga total dentro da superfície é:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss. O fluxo elétrico através da superfície gaussiana é:
Aqui, é o módulo do campo elétrico na distância , e é a área lateral do cilindro.
De acordo com a Lei de Gauss:
Substituindo :

Passo 5

Vamos isolar :
O sinal negativo indica que o campo elétrico está direcionado para dentro, já que a carga total encerrada é negativa.

Resposta

O vetor campo elétrico a uma distância radial é dado por:
Onde é o vetor unitário na direção radial.

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