Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio Rl e comprimento L está carregada com carga Ql=+q. Ela é envolta por uma casca cilíndrica, de raio R2 e de mesmo comprimento L. A casca cilíndrica está carregada com uma carga Q2=-3 q. Use a lei de Gauss para determinar:
(A) o vetor campo elétrico a uma distância radial r>R2;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma barra cilíndrica condutora muito longa com raio e comprimento , carregada com uma carga . Essa barra está envolta por uma casca cilíndrica de raio e mesmo comprimento , que tem uma carga . A gente precisa usar a Lei de Gauss para determinar o vetor campo elétrico a uma distância radial .
Conteúdo da matéria: Lei de Gauss para campos elétricos em distribuições de carga com simetria cilíndrica.
O que vamos precisar: Entender a Lei de Gauss, escolher uma superfície gaussiana adequada e calcular a carga total envolvida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante de permissividade do vácuo ( oint E cdot dA = Qencepsilon0 ):
Como estamos lidando com uma distribuição cilíndrica muito longa, faz sentido escolher uma superfície gaussiana também cil��ndrica, coaxial com a barra e a casca, e com raio e comprimento .

Passo 3

Agora, vamos determinar a carga total enclausurada pela nossa superfície gaussiana. Sabemos que:
  • A barra interna tem carga Qenc = Ql + Q2 = +q + (-3q) = -2q .
  • A casca externa tem carga .
Como nossa superfície gaussiana está a uma distância , ela engloba tanto a barra quanto a casca. Portanto, a carga total dentro da superfície é:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss. O fluxo elétrico através da superfície gaussiana é:
oint E cdot dA = E(r) cdot 2pi r L
Aqui, E(r) cdot 2pi r L = Qencepsilon0 é o módulo do campo elétrico na distância E(r) cdot 2pi r L = -2qepsilon0 , e é a área lateral do cilindro.
De acordo com a Lei de Gauss:
Substituindo :

Passo 5

Vamos isolar E(r) = -2q2pi epsilon0 r L = -qpi epsilon0 r L :
O sinal negativo indica que o campo elétrico está direcionado para dentro, já que a carga total encerrada é negativa.

Resposta

O vetor campo elétrico a uma distância radial E(r) = -q pi epsilon0 r L , r é dado por:
Onde é o vetor unitário na direção radial.

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