Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio comprimento está carregada com carga . Ela é envolta por uma casca cilíndrica, de raio e de mesmo comprimento . A casca cilíndrica está carregada com uma carga . Use a lei de Gauss para determinar:
(D) a carga nas superfícies interna e externa da casca.
(Lembre-se para determinar completamente um vetor é necessário indicar o módulo, a direçã o e o sentido do mesmo)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma barra cilíndrica condutora muito longa com raio e comprimento , carregada com carga . Essa barra está envolta por uma casca cilíndrica com raio e mesmo comprimento , que possui uma carga total . O objetivo é determinar, usando a Lei de Gauss, a carga nas superfícies interna e externa da casca cilíndrica.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é a Lei de Gauss. A Lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície. Matematicamente, é expressa como:
onde é o campo elétrico, é um elemento de área da superfície fechada, é a carga total dentro da superfície, e é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Vamos analisar a distribuição de cargas. A barra interna tem carga e a casca cilíndrica tem carga total . Como a casca é condutora, as cargas se distribuem nas superfícies interna e externa da casca. Precisamos determinar quanto de carga está na superfície interna ( ) e quanto está na superfície externa ( ).

Passo 4

Primeiro, consideremos a superfície gaussiana que coincide com a superfície interna da casca cilíndrica, ou seja, com raio . A carga dentro dessa superfície é a carga da barra interna, . Aplicando a Lei de Gauss:
Como a casca é condutora, o campo elétrico dentro do material condutor é zero. Portanto, a carga na superfície interna da casca deve ser tal que anula o campo elétrico interno, ou seja, deve ser .

Passo 5

Sabemos que a carga total da casca é . Essa carga total é a soma da carga na superfície interna e na superfície externa:
Substituindo :

Passo 6

Resolvendo para :

Resposta

A carga na superfície interna da casca cilíndrica é e na superfície externa é .

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Escreva se cada afiramação é Verdadeira ou Falsa. Prove se for verdadeira e dê um contra-exemplo se for falsa:
( ) Se e forem contínuas em e então
Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio comprimento está carregada com carga . Ela é envolta por uma casca cilíndrica, de raio e de mesmo comprimento . A casca cilíndrica está carregada com uma carga . Use a lei de Gauss para determinar:
(B) o vetor campo elétrico a uma distância radial ;
Ar escoa num tubo convergente. A área da seção inicial do tubo é e a da seção final é . A massa específica do ar na seção inicial é enquanto que na seção final é . Sendo a velocidade na seção inicial de , determinar a velocidade média, a vazão mássica e a vazão volumétrica na seção final (
Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio comprimento está carregada com carga . Ela é envolta por uma casca cilíndrica, de raio e de mesmo comprimento . A casca cilíndrica está carregada com uma carga . Use a lei de Gauss para determinar:
(A) o vetor campo elétrico a uma distância radial ;