Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio Rl e comprimento L está carregada com carga Ql=+q. Ela é envolta por uma casca cilíndrica, de raio R2 e de mesmo comprimento L. A casca cilíndrica está carregada com uma carga Q2=-3 q. Use a lei de Gauss para determinar:
(D) a carga nas superfícies interna e externa da casca.
(Lembre-se para determinar completamente um vetor é necessário indicar o módulo, a direçã o e o sentido do mesmo)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma barra cilíndrica condutora muito longa com raio R1 e comprimento L, carregada com carga Q1=+q. Essa barra está envolta por uma casca cilíndrica com raio R2 e mesmo comprimento L, que possui uma carga total Q2=-3q. O objetivo é determinar, usando a Lei de Gauss, a carga nas superfícies interna e externa da casca cilíndrica.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é a Lei de Gauss. A Lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície. Matematicamente, é expressa como:
oint E cdot dA = Qintvarepsilon0
onde E é o campo elétrico, dA é um elemento de área da superfície fechada, Qint é a carga total dentro da superfície, e varepsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Vamos analisar a distribuição de cargas. A barra interna tem carga +q e a casca cilíndrica tem carga total -3q. Como a casca é condutora, as cargas se distribuem nas superfícies interna e externa da casca. Precisamos determinar quanto de carga está na superfície interna ( Qinterna) e quanto está na superfície externa ( Qexterna).

Passo 4

Primeiro, consideremos a superfície gaussiana que coincide com a superfície interna da casca cilíndrica, ou seja, com raio R2. A carga dentro dessa superfície é a carga da barra interna, Qint = +q. Aplicando a Lei de Gauss:
oint E cdot dA = qvarepsilon0
Como a casca é condutora, o campo elétrico dentro do material condutor é zero. Portanto, a carga na superfície interna da casca deve ser tal que anula o campo elétrico interno, ou seja, deve ser Qinterna = -q.

Passo 5

Sabemos que a carga total da casca é Q2 = -3q. Essa carga total é a soma da carga na superfície interna e na superfície externa:
Q2 = Qinterna + Qexterna
Substituindo Qinterna = -q:
-3q = -q + Qexterna

Passo 6

Resolvendo para Qexterna:
Qexterna = -3q + q = -2q

Resposta

A carga na superfície interna da casca cilíndrica é Qinterna = -q e na superfície externa é Qexterna = -2q.

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