Ar escoa num tubo convergente. A área da seção inicial do tubo é 20 cm^2 e a da seção final é 10 cm^2. A massa específica do ar na seção inicial é 1,2 kg / m^3 enquanto que na seção final é 0,9 kg / m^3. Sendo a velocidade na seção inicial de 10 m / s, determinar a velocidade média, a vazão mássica e a vazão volumétrica na seção final ( R : 26,7 m / s ; 0,024 kg / s ; 0,027 m^3 / s)

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um fluxo de ar passando por um tubo que está diminuindo de diâmetro (convergente). A área da seção inicial do tubo é e a da seção final é . A massa específica do ar na seção inicial é e na final é . Sabemos que a velocidade do ar na seção inicial é de . Precisamos descobrir três coisas na seção final:
  1. A velocidade média do ar.
  2. A vazão mássica.
  3. A vazão volumétrica.
Para resolver isso, vamos usar a equação de continuidade, que é fundamental na mecânica dos fluidos para relacionar essas quantidades em diferentes seções de um tubo.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as áreas das seções de centímetros quadrados para metros quadrados, pois as outras unidades estão em metros. Sabemos que:
1 , m^2 = 10,000 , cm^2
Portanto:
Ainicial = 20 , cm^2 = 2010,000 , m^2 = 0,002 , m^2
Afinal = 10 , cm^2 = 1010,000 , m^2 = 0,001 , m^2

Passo 3

A equação de continuidade para um fluido compressível é dada por:
dotm = rho cdot A cdot v
Onde:
  • rhoinicial cdot Ainicial cdot vinicial = rhofinal cdot Afinal cdot vfinal é a vazão mássica (kg/s)
  • é a densidade do fluido (kg/m³)
  • é a área da seção transversal (m²)
  • é a velocidade do fluido (m/s)
Em um fluxo estacionário, a vazão mássica é constante em qualquer seção do tubo. Então, podemos igualar as vazões mássicas das duas seções:

Passo 4

Vamos isolar a velocidade na seção final vfinal = rhoinicial cdot Ainicial cdot vinicialrhofinal cdot Afinal :
vfinal = 1,2 , kg/m^3 cdot 0,002 , m^2 cdot 10 , m/s0,9 , kg/m^3 cdot 0,001 , m^2
Substituindo os valores conhecidos:
vfinal = 0,0240,0009 = 26,666ldots , m/s
vfinal approx 26,7 , m/s
Arredondando, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a vazão mássica na seção final usando a mesma equação de continuidade:
dotmfinal = rhofinal cdot Afinal cdot vfinal
Substituindo os valores:
dotmfinal = 0,9 , kg/m^3 cdot 0,001 , m^2 cdot 26,7 , m/s = 0,02403 , kg/s
Arredondando:
dotmfinal approx 0,024 , kg/s

Passo 6

Por último, vamos calcular a vazão volumétrica na seção final. A vazão volumétrica ( Q = A cdot v ) é dada por:
Qfinal = Afinal cdot vfinal = 0,001 , m^2 cdot 26,7 , m/s = 0,0267 , m^3/s
Então:
Qfinal approx 0,027 , m^3/s
Arredondando:

Resposta

vfinal = 26,7 , m/s; dotm = 0,024 , kg/s; Q = 0,027 , m^3/s

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